3.2.3. Метод Ритца — Галеркина

В теории упругости, как и во многих других областях технических наук, чрезвычайно эффективным оказался метод решения краевых задач, предложенный Ритцем и развитый далее Галеркиным. Этот метод применим и в теории колебаний, в особенности при расчете стационарных, т. е. периодических, колебаний. Можно показать, что метод гармонического баланса содержится в методе Ритца — Галеркина как частный случай, так что метод Ритца — Галеркина можно считать обобщением метода гармонического баланса.

Преимущество метода Ритца — Галеркина состоит в его большей приспособляемости и возможности перехода к приближениям высших порядков в случаях, когда первое приближение уже не является достаточным. Известным недостатком метода можно считать малую наглядность, обусловленную его формально математическим характером.

Подобно тому как периодическая функция представляется рядом Фурье, т. е. линейной комбинацией функций можно попытаться осуществить аппроксимацию иного вида, основанную на использовании системы функций выбранной надлежащим образом. Это приводит к теореме Ритца:

Если разложение (3.21) использовать для решения уравнения (3.2), то, согласно предложенному Галеркиным правилу, неизвестные амплитудные коэффициенты находятся из условий

Это первоначально чисто формальное правило можно интерпретировать следующим образом. Поскольку при практическом применении разложения (3.21) в нем, естественно, оставляется только конечное число членов, полученная таким образом функция x(t) является лишь приближением, для которого исходное уравнение (3.2) выполняется нестрого. Поэтому надо попытаться добиться того, чтобы уравнение (8.2) выполнялось хотя бы «в среднем», т. е. после интегрирования период. Правило Галеркина гласит, что для определения амплитудных коэффициентов целесообразно использовать не простое среднее, а «взвешенное среднее» с весовыми функциями Именно таким образом и получаются условия (3.22).

В качестве примера снова рассмотрим уравнение Ван дер Поля (3.3). Выберем простейшую форму разложения (3.21), где учтены только члены первого порядка с и используем в качестве аппроксимирующих функций тригонометрические функции . Тогда (3.21) перейдет в

Подставляя это выражение в (3.22), приходим к двум характеристическим уравнениям:

После интегрирования и простых тригонометрических преобразований получаем

Эти уравнения выполняются при

Первое из этих условий ничего нового не сообщает, оно позволяет лишь видеть, что исходное уравнение в отношении собственного времени нормировано так, что коэффициент при х стал равным единице. Второе условие (3.25) определяет значение амплитуды, с которой могут происходить стационарные колебания. Этот результат в точности совпадает с результатом (3.20), полученным методом гармонического баланса.

Преимущество метода Ритца—Галеркина состоит в том, что в некоторых особых случаях (например, в случае разрывных колебаний, о которых речь пойдет ниже) за счет надлежащего выбора функций (0 можно прийти к лучшим приближениям, чем это возможно при помощи тригонометрических функций.