2.2.2.2. Решение уравнений движения.
Решение безразмерного уравнения (2.123) можно было бы искать в виде экспоненты
как это обычно делается в теории дифференциальных уравнений. Однако здесь мы воспользуемся методом, основанным на замене
переменной (2.120). Сравнивая (2.123) и (2.119), видим, что в данном случае
и тогда из соотношения (2.120) следует, что
(2.125)
причем у должно удовлетворять уравнению (2.121), которое теперь принимает вид
(2.126)
В зависимости от величины коэффициента демпфирования D теперь нужно рассмотреть по отдельности три следующих случая:
I. Случай 
. Введя обозначение 
получим из (2.126) дифференциальное уравнение, решение которого уже было найдено в разд. 2.1.2.1:
Здесь А и В (соответственно С и 
) — произвольные постоянные. Отсюда и из уравнения (2.125) получается решение для 
(2.127)
Для определения постоянных из заданных начальных условий, а также для дальнейшего исследования полученного решения нужно найти скорость. Дифференцирование по 
дает
Если начальные условия при 
имеют вид 
то постоянные, входящие в выражения (2.127) и (2.128), принимают следующие значения:
(2.129)
II. Случай 
Обозначив 
получим из (2.126) уравнение
(2.130)
Частными решениями этого уравнения являютея гиперболические функции
где 
гиперболический синус и гиперболический косинус соответственно. Оба этих решения составляют фундаментальную систему, так что общее решение (2.130) с постоянными А и В можно записать в виде
(2.131)
причем
(
— гиперболический тангенс).
Подставляя решения (2.131) в (2.125), получаем решения для х:
(2.132) Определение постоянных из начальных условий теперь дает
(2.133)
Наряду с обеими формами решения (2.132) часто применяется еще одна его форма, которая следует из соотношений
т. е. форма
(2.134)
Поскольку 
разность 
положительна, так что показатели степени в решении (2.134) всегда отрицательны.
III. Случай 
. Этот граничный случай можно получить из обоих рассмотренных до сих пор случаев предельным переходом при 
Однако проще непосредственно найти это решение уже освоенным способом. Из (2.126) следует уравнение
с общим решением
Решение для х, таким образом, будет
Определение постоянных интегрирования из начальных условий теперь дает
и поэтому общее решение переходит в следующее:
(2.136)
