Главная > Колебания: Введение в исследование колебательных систем
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.2.1. Нарастание амплитуды колебаний

Соотношения, выведенные ранее в гл. 2 (разд. 2.1.3.2), можно G полным основанием применить к четверти периода колебания качелей, а именно к фазе спуска. В частности, при отсутствии сил демпфирования можно записать уравнение сохранения энергии

Так как теперь можно найти угловую скорость в наинизшей точке , т. е. в конце фазы спуска:

здесь — угол начального отклонения в тот момент, когда качели начинают опускаться. Совершенно аналогичное соотношение связывает угловую скорость в момент начала фазы подъема и максимальное отклонение в конце этой фазы, так как снова можно написать уравнение для четверти периода колебаний:

Между фазами подъема и спуска происходит мгновенный подъем центра тяжести. Вызывающие его силы действуют вдоль нити и не создают момента относительно точки подвеса. Поэтому момент количества движения маятника в момент внезапного перемещения

остается неизменным:

Это соотношение между двумя скоростями позволяет найти связь между последовательными значениями максимальных отклонений . Возведя (4.13) в квадрат и подставив в результат выражения (4.11) и (4.12), получим

Аналогичное соотношение можно получить для любого последующего полупериода; поэтому, пользуясь методом итераций, можно написать соотношение между максимальными отклонениями:

Расчет в соответствии с этим соотношением можно очень наглядно проиллюстрировать графически, построив графики функций

на одном чертеже (рис. 126). Сразу видно, что мы можем найти все значения амплитуд, поднимаясь, начиная с заданной начальной амплитуды по ступенчатой ломаной, заключенной между этими двумя графиками.

Рис. 126. Нарастание амплитуды колебаний качелей.

Абсциссы ступенек представляют значения амплитуды в последовательные моменты изменения направления движения.

Простое (а в случае рассматриваемой здесь модели и совершенно точное) соотношение можно вывести не только для амплитуд, но и для энергии колебательной системы. Изменение энергии системы будет иметь место лишь в тех точках, где центр тяжести мгновенно поднимается или опускается, поэтому, чтобы составить условие баланса энергии, необходимо проанализировать лишь эти процессы. При подъеме энергия системы меняется на величину

В этой формуле первое слагаемое представляет увеличение потенциальной энергии, а второе — увеличение кинетической энергии. Высота подъема равна Учитывая соотношения (4.11), (4.12), (4.14) и равенство , формулу (4.16) можно преобразовать таким образом, что энергия будет функцией начальной амплитуды

Приросту энергии при подъеме соответствует потеря потенциальной энергии при спуске, поэтому в точках изменения направления движения имеем

Таким образом, для одного полупериода колебаний, включающего подъем и спуск, получаем полное приращение энергии:

С учетом равенства (4.14) это выражение можно привести к виду

    (4.19)

Здесь — начальная (потенциальная) энергия осциллятора, постоянный коэффициент, зависящий только от геометрии маятника-качелей. Величина энергии в конце первого полупериода равна

Аналогичные соотношения можно написать для всех последующих полупериодов, и поэтому величина энергии после полупериода колебаний определяется формулой

Энергия системы, таким образом, возрастает в геометрической прогрессии подобно тому как денежный вклад увеличивается по закону сложных процентов.

1
Оглавление
email@scask.ru