4.2.1. Нарастание амплитуды колебаний

Соотношения, выведенные ранее в гл. 2 (разд. 2.1.3.2), можно G полным основанием применить к четверти периода колебания качелей, а именно к фазе спуска. В частности, при отсутствии сил демпфирования можно записать уравнение сохранения энергии

Так как теперь можно найти угловую скорость в наинизшей точке , т. е. в конце фазы спуска:

здесь — угол начального отклонения в тот момент, когда качели начинают опускаться. Совершенно аналогичное соотношение связывает угловую скорость в момент начала фазы подъема и максимальное отклонение в конце этой фазы, так как снова можно написать уравнение для четверти периода колебаний:

Между фазами подъема и спуска происходит мгновенный подъем центра тяжести. Вызывающие его силы действуют вдоль нити и не создают момента относительно точки подвеса. Поэтому момент количества движения маятника в момент внезапного перемещения

остается неизменным:

Это соотношение между двумя скоростями позволяет найти связь между последовательными значениями максимальных отклонений . Возведя (4.13) в квадрат и подставив в результат выражения (4.11) и (4.12), получим

Аналогичное соотношение можно получить для любого последующего полупериода; поэтому, пользуясь методом итераций, можно написать соотношение между максимальными отклонениями:

Расчет в соответствии с этим соотношением можно очень наглядно проиллюстрировать графически, построив графики функций

на одном чертеже (рис. 126). Сразу видно, что мы можем найти все значения амплитуд, поднимаясь, начиная с заданной начальной амплитуды по ступенчатой ломаной, заключенной между этими двумя графиками.

Рис. 126. Нарастание амплитуды колебаний качелей.

Абсциссы ступенек представляют значения амплитуды в последовательные моменты изменения направления движения.

Простое (а в случае рассматриваемой здесь модели и совершенно точное) соотношение можно вывести не только для амплитуд, но и для энергии колебательной системы. Изменение энергии системы будет иметь место лишь в тех точках, где центр тяжести мгновенно поднимается или опускается, поэтому, чтобы составить условие баланса энергии, необходимо проанализировать лишь эти процессы. При подъеме энергия системы меняется на величину

В этой формуле первое слагаемое представляет увеличение потенциальной энергии, а второе — увеличение кинетической энергии. Высота подъема равна Учитывая соотношения (4.11), (4.12), (4.14) и равенство , формулу (4.16) можно преобразовать таким образом, что энергия будет функцией начальной амплитуды

Приросту энергии при подъеме соответствует потеря потенциальной энергии при спуске, поэтому в точках изменения направления движения имеем

Таким образом, для одного полупериода колебаний, включающего подъем и спуск, получаем полное приращение энергии:

С учетом равенства (4.14) это выражение можно привести к виду

    (4.19)

Здесь — начальная (потенциальная) энергия осциллятора, постоянный коэффициент, зависящий только от геометрии маятника-качелей. Величина энергии в конце первого полупериода равна

Аналогичные соотношения можно написать для всех последующих полупериодов, и поэтому величина энергии после полупериода колебаний определяется формулой

Энергия системы, таким образом, возрастает в геометрической прогрессии подобно тому как денежный вклад увеличивается по закону сложных процентов.