4.3.2. Поведение осциллятора, описываемого уравнением Матье

Характеристические показатели уравнения Матье (4.41), определяющие устойчивость (или неустойчивость) его решения, зависят исключительно от величин К и у и не зависят от начальных условий.

Рис. 128 Диаграмма устойчивости для дифференциального уравнения Матье. Штриховкой выделены области неустойчивости.

Поэтому по каждой паре значений и у можно установить, будет ли соответствующее решение устойчивым или неустойчивым, т. е. в плоскости можно построить области устойчивости и неустойчивости. Такая диаграмма устойчивости, рассчитанная Айнсом и Стреттом, приведена на рис. 128. Выделенные штриховкой области неустойчивости и незаштрихованные области устойчивости отделяются одна от другой граничной линией, точки которой соответствуют периодическому решению. Так как диаграмма устойчивости симметрична относительно оси достаточно изобразить только верхнюю полуплоскость.

Какие же суждения можно высказать на основе исследования диаграммы устойчивости, приведенной на рис. 128?

Прежде всего рассмотрим случай для которого уравнение переходит в уравнение простого осциллятора

Решение этого уравнения для случая известно и представляет собой чисто периодическую функцию (синус или косинус) с круговой частотой На диаграмме устойчивости ему соответствует положительная ось . Случаю соответствуют уже не тригонометрические, а экспоненциальные функции с действительным показателем Эти решения неустойчивы, что и видно на диаграмме, где все точки отрицательной оси Я находятся в области неустойчивости.

Если теперь рассматривать осциллятор с постоянным коэффициентом у, отличным от нуля, то точки, соответствующие этому случаю, при изменении величины Я будут перемещаться вдоль прямой, параллельной оси К. При этом для эта прямая несколько раз пересекает области неустойчивости. Практически это означает, что колебательная система, устойчивая в случае в случае может при определенных значениях 1 стать неустойчивой.

Таким образом, осциллирующая часть коэффициента при у может уменьшать устойчивость решения. В то же время устойчивость может иметь место и при , т. е. в области, в которой осциллятор с постоянным параметром неустойчив. В этом случае осциллирующая часть коэффициента оказывает стабилизирующее действие.

По мере приближения к оси абсцисс границы областей неустойчивости сближаются и пересекаются на этой оси в следующих точках:

Ширина области, а вместе с ней и ее практическое значение с ростом числа уменьшаются. Это объясняется прежде всего влиянием демпфирования, которое хотя и не учитывается в данном случае, но всегда имеется у реальных осцилляторов. Учет демпфирования приводит к уменьшению области неустойчивости (см., например, Клоттер [11, с. 368 и далее]).

Часто представляет интерес лишь непосредственная окрестность нулевой точки . Здесь в данной задаче уравнение границы области устойчивости с достаточной точностью можно представить при помощи простых функций . Приведем без доказательства уравнения первых пяти (считая слева) граничных линий:

Граничные линии, соответствующие этим приближениям, показаны штриховыми кривыми на части диаграммы устойчивости, изображенной в увеличенном масштабе на рис. 129.

Поясним правила исследования диаграммы устойчивости на примере, приведенном в разд. 4.1: рассмотрим малые колебания физического маятника, у которого точка подвеса периодически движется по вертикали. Для этого осциллятора справедливо уравнение (4.1), причем в силу малости амплитуды можно положить . Если точка подвеса движется гармонически, то

При этом уравнение (4.1) принимает вид

Используя обозначения

приведенная длина маятника,

— круговая частота собственных колебаний при неподвижной точке подвеса, получаем из (4.47) нормальную форму (4.41) уравнения Матье.

Сначала рассмотрим маятник, у которого центр тяжести лежит ниже точки подвеса , и предположим, что точка подвеса маятника движется с постоянной круговой частотой Q, приближенно равной удвоенному значению круговой частоты

Рис. 129. К устойчивости маятника с колеблющейся точкой подвеса.

Если амплитуда колебания точки подвеса А возрастает (начиная с нуля), то в силу (4.48) величина у увеличивается пропорционально амплитуде , в то время как величина К остается постоянной. Поэтому точка на диаграмме устойчивости перемещается вдоль вертикальной прямой, например вдоль прямой Эта прямая начинается в области устойчивости, а затем пересекает ее границу при значении амплитуды При движение остается устойчивым; оно, наоборот, неустойчиво при . Впрочем, данный пример дестабилизирующего действия осциллирующего параметра полностью согласуется с исследованным в разд. 4.2 явлением раскачивания качелей с той лишь разницей, что там частота осцилляции параметра точно равнялась удвоенной частоте собственных колебаний. На рис. 129 этот случай соответствует прямой, параллельной прямой и проходящей через точку . Для этой прямой , т. е. возбуждение возможно при сколь угодно малой амплитуде колебаний точки подвеса.

Если амплитуда сохраняет постоянное значение, а частота Q возрастает (начиная с нуля), то соответствующая точка (как видно из выражения (4.48) для ) будет перемещаться вдоль горизонтальной

прямой от больших значений к оси ординат (оси ). При этом точка проходит через несколько областей неустойчивости (только одну на рис. 129 и несколько на рис. 128), В частности, неустойчивость имеет место в последней из этих областей, в которой

и которая снова соответствует области раскачивания качелей. При выбранном значении , определяющем прямую маятник остается устойчивым при сколь угодно больших значениях

Теперь рассмотрим опрокинутый маятник. Такой маятник находится в положении неустойчивого равновесия, потому что его центр тяжести лежит выше точки опоры. Заметим, что неустойчивое при неподвижной точке опоры верхнее положение равновесия маятника может стать устойчивым при надлежащем выборе режима колебаний точки опоры. Это означает, что при малом отклонении от положения равновесия маятник не опрокидывается, а будет совершать стационарные колебания около верхнего положения равновесия. Если сохранять частоту Q постоянной и менять амплитуду колебаний точки опоры, то соответствующая точка в плоскости К, у будет перемещаться вдоль вертикальной прямой показанной на рис. 129. При 2 точка пробегает область неустойчивости, а при — область устойчивости.

Исследуем теперь, при каких условиях возникнет этот эффект стабилизации. Возьмем, например, в силу (4.48) это означает, что частота в десять раз больше частоты с которой маятник колебался бы около своего нижнего устойчивого положения равновесия. Из уравнения (4.46) определим значение , соответствующее точке на границе области устойчивости, как Согласно (4.48), это означает, что для появления эффекта стабилизации амплитуда точки опоры должна составлять по меньшей мере 14% приведенной длины маятника. Если нужно стабилизировать маятник при меньшей амплитуде А, то необходимо соответственно увеличить частоту Так, амплитуда А будет равна всего 1,4% приведенной длины маятника, если т. е. если точка опоры быстро колеблется с частотой

Если теперь также сохранять постоянной амплитуду А и увеличивать (начиная с нуля) частоту то точка на диаграмме устойчивости будет двигаться вдоль горизонтальной прямой слева направо. Для реализуемых на практике амплитуд (а следовательно, и значений ) верхнее положение равновесия, устойчивое при некоторой граничной частоте , остается устойчивым и при дальнейшем росте частоты

Существование такого замечательного эффекта стабилизации можно объяснить с физической точки зрения. Если точка опоры маятника (см. рис. 130) периодически движется по вертикали между точками 1 и 2, то маятник совершает вынужденное движение, в котором можно выделить два крайних положения, показанных

на рисунке. Сила инерции, действующая на маятник при вынужденном движении точки его опоры, приложена в центре тяжести и создает момент, который стремится повернуть маятник вокруг точки опоры. Вследствие периодического движения точки опоры этот момент меняется также периодически; однако его среднее значение отлично от нуля, так как в той фазе движения, в которой ускорение точки опоры направлено вниз (путь ), а сила инерции, приложенная в центре тяжести маятника, направлена вверх, величина угла принимает большие значения, чем в той фазе движения, в которой ускорение точки опоры направлено вверх (путь ). Таким обра остается некоторый избыточный момент, который стремится вернуть маятник в верхнее положение равновесия и который мы назовем вибронаправляющим моментом (ROttelrichtmoment). Если этот момент больше опрокидывающего момента си тяжести, то маятник может быть устойчивым в верхнем положении и не будет покидать окрестность этого положения равновесия при малых возмущениях.

Рис. 130. К объяснению эффекта стабилизации опрокинутого маятника с колеблющейся точкой опоры.

Стабилизирующий эффект также может наблюдаться на магнитной стрелке компаса, если она находится под действием не только магнитного поля Земли, а еще и под действием слабых переменных магнитных полей, что часто имеет место вблизи электроустановок переменного тока. При этом может случиться, что обычно неустойчивое положение магнитной стрелки, в котором ее северный полюс обращен к югу, стабилизируется переменной составляющей магнитного поля.

Вибронаправляющие моменты могут также вызывать погрешности в показаниях упруго подвешенных стрелочных приборов (см., например, Клоттер [11, § 107]).