6.1.3. Собственные частоты как экстремальные значения частного Релея
Для колебаний систем с одной степенью свободы собственную частоту можно найти из простых энергетических соображений, а именно из равенства максимальных значений потенциальной и кинетической энергии. Для колебаний систем с несколькими степенями свободы исследование энергий также позволяет сделать некоторые важные выводы.
Если потенциальную энергию отсчитывать от положения покоя колебательной системы, то для консервативной системы всегда будет выполняться равенство
Применим это соотношение к исследуемой здесь колебательной системе и для этого введем пока неизвестную частоту 
:
(6.22)
Из полученных подстановкой (6.22) в формулы (6.18) выражений для энергии можно найти максимальную величину кинетической энергии (в момент прохождения положения равновесия 
) и соответственно максимальную величину потенциальной энергии (в момент изменения направления движения 
), т. е.
Отсюда в силу равенства (6.21) можем получить выражение для квадрата частоты:
Это известное частное Релея можно использовать для определения частоты связанных колебаний двояким образом. Прежде всего видно, что со полностью определена, если кроме параметров колебательной системы известно отношение амплитуд х, найденное, например, экспериментально.
Рис. 186. Частное Релея R как функция отношения амплитуд х.
Но и без этих сведений из частного Релея можно найти собственные частоты и соответствующие значения х. Рассматривая R как функцию от х, можно показать, что экстремальные значения этой функции в точности соответствуют квадратам собственных частот 
. Если построить график 
как это, сделано на рис. 186, то по нему находятся как 
так и соответствующие им отношения амплитуд 
Это общее утверждение можно в данном случае подтвердить следующим образом. Продифференцировав (6.23) по х и положив 
получают квадратное уравнение относительно х:
решение которого после соответствующих преобразований снова дает уже известные из формул (6.11) значения 
Если полученные выражения подставить в равенство (6.23), то соответственно получится
Следует, конечно, заметить, что на практике расчет собственных частот как экстремальных значений частного Релея требует примерно столько же времени, как и непосредственное решение характеристического уравнения. Однако преимущество метода Релея состоит в том, что в окрестности собственной частоты величина R почти не меняется при изменении х. Поэтому если непосредственно подставить в выражение (6.23) грубо приближенные значения к, то для собственных частот обычно получаются удивительно хорошие приближения. Дальнейшие итерации позволяют еще улучшить эти значения. Ценность данного способа оценки собственных частот становится еще более очевидной для систем высокого порядка, когда характеристическое уравнение нельзя решить в явном виде.
