2.1.1.3. Жидкость в U-образной трубке и резонатор Гельмгольца.

Находящийся в -образной трубке столб жидкости (рис. 29) после некоторого начального возмущения приходит в колебательное движение. Если площадь F поперечного сечения -образной трубки постоянна, то собственные колебания этой системы описываются линейным дифференциальным уравнением, которое можно составить для нестационарного движения жидкости.

Рис. 29. Колебания жидкости в U-образной трубке.

Рис. 30. Резонатор Гельмгольца.

Однако в рассматриваемом здесь частном случае мы получим качественно правильный результат при помощи следующего простого рассуждения: так как все частицы жидкости совершают одинаковое перемещение, то столб жидкости можно рассматривать как единую колеблющуюся массу, равную , где — плотность, длина столба жидкости. Силы, которые действуют при повороте столба жидкости в закруглении трубы, учитывать не надо, поскольку они всегда перпендикулярны направлению движения. Трение жидкости о стенки трубки не учитывается. Таким образом, в уравнение движения входят только силы тяжести, причем от них остается лишь разность которая соответствует разности уровней правой и левой частей столба жидкости. При этом уравнение движения принимает вид

или при

вид

В резонаторе Гельмгольца (рис. 30) можно считать, что масса воздуха, находящаяся в горловине резонатора, образует пробку,

которая находится над упругой воздушной подушкой, заключенной внутри сферической полости. Собственные колебания можно описать таким же способом, как и в случае системы, состоящей из массы и пружины.

Если горловина резонатора имеет длину L и площадь поперечного сечения F, то масса находящейся в ней воздушной пробки составляет следовательно, сила инерции равна

Восстанавливающая сила возникает благодаря разности между давлением воздуха внутри сферической полости и давлением наружного воздуха. Если эта разность равна то восстанавливающая сила составляет

    (2.20)

Теперь следует выразить через координату х воздушной пробки, используя уравнение состояния газа. При перемещении пробки на величину х объем массы газа, заключенной в резонаторе, меняется на величину . Если процесс изменения состояния газа считать адиабатическим, то при показателе адиабаты к имеет место соотношение

или

Если рассматривать как малые величины, то последующими членами разложения можно пренебречь. Тогда в качестве соотношения между получаем

Подставляя это выражение в (2.20) и учитывая требование равновесия сил, находим

вводя обозначение

получаем

2.1.1.4. Крутильные осцилляторы.

Два простых типа крутильного осциллятора изображены на рис. 31. Рассмотрим маятник или «баланс» карманных часов, совершающий крутильные колебания

вокруг оси, вращающейся в опорах корпуса часового механизма, а также колебания диска, насаженного на вал, второй конец которого жестко закреплен. При повороте на угол в обоих случаях возникают восстанавливающие моменты, в области упругой деформации пропорциональные углу поворота , т. е.

Этот восстанавливающий момент уравновешивает момент сил инерции, действующих на баланс или на диск,

Здесь J — момент инерции баланса или диска относительно оси вращения.

Рис. 31. Крутильные осцилляторы.

Поскольку во время колебаний его можно считать постоянным, момент можно записать в простом виде (2.22). Требование равновесия крутящих моментов относительно оси вращения приводит, таким образом, к уравнению

или

к уравнению

Уравнение точно такого же вида описывает движение системы, состоящей из двух дисков, которые закреплены на концах упругого вала (рис. 32). Если оба диска повернуты относительно положения равновесия на равные углы то соединяющий их вал не закручивается и на диски не действуют восстанавливающие моменты. Только в том случае, когда величины углов различны,

возникает восстанавливающий момент

Момент такого знака действует на второй диск, а на первый диск действует момент обратного знака, поскольку моменты на концах вала будут взаимно уничтожаться.

Рис. 32. Крутильный осциллятор, состоящий из вала и двух дисков.

Восстанавливающие моменты должны уравновешиваться моментами даламберовых сил инерции для первого диска и для второго диска, что дает

Если нас интересует только смещение одного диска относительно другого, на которое, конечно, может накладываться совместное вращение дисков, то, вычитая из первого уравнения (2.26) второе и полагая можно получить уравнение

или при

уравнение

Таким образом, рассмотрение всех трех осцилляторов, совершающих крутильные колебания, приводит к одному уравнению движения, ранее полученному для других случаев.