5.2.1.4. Передаточная функция и частотные характеристики.

Уже в первой главе (разд. 1.5) было показано, насколько разнообразны средства, применяемые для изображения колебаний. Если колебания вызваны гармоническими возмущающими силами, то для описания колебательных процессов наряду с уже рассмотренными амплитудными и фазовыми характеристиками можно использовать передаточные функции и амплитудно-фазовые характеристики. Не вдаваясь в подробности, укажем здесь лишь на тесную взаимосвязь между этими способами описания и покажем, что при надлежащем их выборе можно не только сэкономить большое количество времени на расчетную работу, но и достичь лучшей наглядности представления полученных результатов.

Рис. 152. Входное колебание и выходное колебание как проекции вращающихся векторов.

В качестве примера снова рассмотрим простой линейный осциллятор, для которого справедливо уравнение движения (5.29). Входящую в правую часть этого уравнения возмущающую функцию можно рассматривать как гармоническую «входную функцию»

на которую осциллятор реагирует также гармоническим колебанием, т. е. «выходной функцией»

Как так и могут быть представлены проекциями вращающихся векторов (рис. 152). Однако вместо проекции можно использовать и сами векторы. Если изображенную на рис., 152 плоскость считать комплексной плоскостью, то эти векторы будут выражаться следующим образом:

С введением этих величин легко видеть, что действительно ляется решением уравнения движения (5.29) и что величины

принимают в точности такие же значения, которые были уже определены формулами (5.38) и (5.40).

Комплексное представление (5.55) оказывается особенно удобным при образовании коэффициента усиления F, или передаточной функции

Величина F является коэффициентом, на который нужно умножить входную величину чтобы получить выходную величину По передаточной функции F можно видеть, в каком виде входное возмущение поступает на выход системы, т. е. что происходит с входным возмущением при прохождении через систему. Если передаточная функция F принимает действительное значение, то это значение показывает «статическое» увеличение или уменьшение входной величины. Если F становится комплексной величиной, то это указывает на наличие сдвига фазы. Из выражения (5.56) можно найти две составляющие передаточной функции: модуль передаточной функции и сдвиг фазы, или аргумент,

Передаточная функция F, а также V и зависят от частоты или отношения частот Для соответствующих графических представлений приняты следующие названия:

— комплексная частотная характеристика;

— амплитудная частотная характеристика;

— фазовая частотная характеристика.

Амплитудная частотная характеристика, или, ее иногда называют, амплитудно-частотная кривая, идентична рассматривавшемуся выше графику коэффициента усиления.

Величины У и можно рассматривать как полярные координаты точки. Таким образом, каждому значению соответствует одна точка комплексной плоскости; совокупность этих точек образует амплитудно-фазовую характеристику. В случае А (см. выше), используя выражения

нетрудно построить амплитудно-фазовую характеристику. Однако в данном случае проще строить не саму амплитудно-фазовую характеристику, а обратную амплитудно-фазовую характеристику, когда на комплексной плоскости получается годограф обратной передаточной функции

Для этого по осям координат откладывают

как показано на рис. 153. Тогда радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку Р обратной амплитудно-фазовой характеристики, фактически определяется величиной модуля MV и аргументом как это и требуется формулой (5.58). Таким образом, уравнения (5.59) являются параметрическим представлением обратной амплитудно-фазовой характеристики с в качестве параметра. Исключая легко найти

Таким образом, обратные амплитудно-фазовые характеристики являются параболами с вершиной в точке (1, 0). Эти кривые называют также параболами Рунге, ибо Рунге применил этот вид изображения в теории колебаний. Каждому значению коэффициента демпфирования соответствует своя парабола.

Рис. 153. Построение годографа обратной передаточной функции.

Рис. 154. Годографы обратной передаточной функции при различных значениях коэффициента демпфирования.

Все кривые, приведенные на рис. 146 и 147, можно заменить одним семейством парабол, построенных для различных значений D, как показано на рис. 154, потому что по этому рисунку можно определить амплитуду и фазу для каждого значения частоты При желании рис. 154 можно дополнит» изображением кривых которые, как показывают уравнения (5.59), являются прямыми, параллельными оси v. Все параболы начинаются при значении на оси , пересекают ось v при значении и при дальнейшем росте переходят во второй квадрант, продолжаясь в сторону все больших отрицательных значений и.

По обратной амплитудно-фазовой характеристике легко определить максимальную величину амплитуды и относительную частоту,

при которой она достигается. Максимуму V соответствует минимум MV. Последний может быть найден, если из начала координат провести нормаль к параболе (рис. 155). Так как нормаль и касательная к кривой перпендикулярны, для точки пересечения перпендикуляра с параболой выполняется равенство

Рис. 155. Нахождение резонансного максимума по годографу обратной передаточной функции.

Если вычислить производную при помощи (5.60), а затем подставить выражения (5.59), то получится уравнение для частоты , решением которого будет

что согласуется с ранее полученным результатом. Если, наконец, подставить это значение в формулу

то с учетом (5.59) снова получим уже найденное выше другим путем значение для максимума коэффициента усиления.

В данном примере построение обратной амплитудно-фазовой характеристики можно сделать еще нагляднее, если подставить в уравнение движения комплексные выражения (5.55). Тогда это уравнение приведется к виду

Рис. 156. Построение годографа обратной передаточной функции суммированием отдельных векторов.

Чтобы это уравнение удовлетворялось, стоящее в квадратных скобках выражение должно быть равно нулю. Каждый из членов в скобках может быть истолкован как вектор на комплексной плоскости.

Все четыре вектора вместе образуют замкнутый многоугольник, как показано на рис. 156. Точка Р обратной характеристики может быть найдена как конечная точка векторной ломаной, образованной тремя первыми слагаемыми. При Этом каждому вектору соответствует член дифференциального уравнения, а каждое дифференцирование пот представляет поворот соответствующего вектора на 90°.

Исходя из всего сказанного выше, легко представить себе, как построить обратную амплитудно-фазовую характеристику осциллятора, уравнение движения которого является дифференциальным уравнением порядка. Не вдаваясь В подробности таких построений, заметим, что они весьма распространены в технике регулирования.