4.3. Параметрические колебания линейных систем
4.3.1. Общие математические зависимости
Ограничимся здесь рассмотрением систем с одной степенью свободы, которые описываются дифференциальными уравнениями второго порядка. Уже на таком простом осцилляторе можно изучить типичные свойства параметрических колебаний. Сведения о системах с многими степенями свободы читатель может найти в специальной литературе, в частности в книге И. Г. Малкина [14, гл. V, § 62].
Дифференциальное уравнение для линейного осциллятора с одной степенью свободы и с зависящими от времени параметрами можно представить в виде
Оно получается, например, из приведенного в разд. 2.2.2.1 уравнения (2.119), если последнее разделить на 
. Ранее было показано, что это уравнение можно упростить, введя новую переменную. Полагая
преобразуем (4.31) к виду
где
Если параметры 
являются периодическими функциями времени с периодом 
, то для 
также имеет место равенство
Уравнение вида (4.33) является уравнением Хилла-, в случаях, представляющих практический интерес, это уравнение имеет решение вида
где 
— периодические функции времени, 
— константы, a и 
— так называемые характеристические показатели уравнения (4.33). Эти показатели, зависящие только от входящих в исходное уравнение (4.33) величин и не зависящие от начальных
условий, определяют условия устойчивости решения (4.36). Если действительная часть одного из двух характеристических показателей положительна, то при 
решение (4.36) неограниченно возрастает, т. е. является неустойчивым. Наоборот, если действительные части обоих показателей отрицательны, то при 
решение 
асимптотически стремится к нулю и является асимптотически устойчивым. В граничном случае, естественно, действительная часть одного из показателей (или обоих показателей) обращается в нуль. Тогда решение 
остается ограниченным, однако без асимптотического стремления к нулю; в этом случае решение 
может быть периодическим.
В теории колебаний интересуются прежде всего действительными показателями 
. В этом случае область устойчивости решения отделяется от области его неустойчивости границей, на которой существуют чисто периодические решения. Поэтому отыскание области неустойчивости сводится в конечном счете к определению условий, при которых показатели 
обращаются в нуль, т. е. могут существовать чисто периодические решения.
Решение уравнения (4.33) детально исследовано для некоторых частных видов периодической функции 
, например для
В первом из этих случаев параметр изменяется по гармоническому закону, во втором случае происходит разрывное изменение функции, так что 
является функцией типа меандра 1). При подстановке для 
выражения (4.37) уравнение Хилла переходит в уравнение Матье, а при подстановке (4.38) — в уравнение Мейсснера.
Так как уравнение Матье будет рассматриваться в разд. 4.3.2, а уравнение Мейсснера в разд. 4.4, приведем оба уравнения к обычной и наиболее удобной в математическом смысле нормальной форме. Введем безразмерное время
положим
и придем к Нормальной форме уравнения Матье:
где штрихи означают дифференцирование по безразмерному времени т.
С учетом обозначений (4.39) и (4.40) уравнение Мейсснера приводится к виду
(4.42)
Последнее уравнение эквивалентно двум следующим:
