1.5. Переходная функция, частотные характеристики и годограф колебательной системы

Существуют также иные способы определения свойств колебательной системы. Можно вывести систему из равновесия посредством какого-либо внешнего возмущения и исследовать реакцию системы на это возмущение. Так, например, наблюдая процесс затухания колебаний после удара, определяют высоту тона камертона.

Рис. 18. Блок-схема осциллятора при наличии возмущения.

В общем случае свойства колебательной системы определяются по ее реакции на возмущения заданного типа. Пусть — возмущение (входная функция), а — реакция на это возмущение (выходная функция), тогда независимо от устройства самого осциллятора связь между этими функциями можно наглядно представить блок-схемой, изображенной на рис. 18

Рис. 19. Масса, подвешенная на пружине с движущейся точкой подвеса.

Рис. 20. Формы испытательных функций для исследования осцилляторов.

В качестве конкретного примера представим себе подвешенную на пружине массу (рис. 19). Здесь возмущение может быть вызвано быстрым перемещением точки подвеса Р по вертикали. Смещение этой точки является входной функцией . Реакцией на это возмущение будут колебания массы, так что выходной функцией может служить координата массы.

Практически наиболее удобными входными функциями являются испытательные функции, представленные на рис. 20. На рис. 20, а

показана единичная ступенчатая функция

Умножив эту функцию на соответствующее число, можно получить ступенчатую функцию с любой высотой ступеньки.

Изображенная на рис. 20, 6 импульсная функция (функция Дирака) отлична от нуля только в узкой области около момента времени . В пределе ширина этой области . При этом имеем

Для кусочно линейной возрастающей функции (рис. 20, в)

Константу с при этом также можно выбрать равной единице. Наконец, на рис. 20, г показана синусоидальная испытательная функция .

Рис. 21. К построению переходной функции.

Иногда применяются также еще и другие испытательные функции, например прямоугольная или треугольная, однако основную роль играют функции, изображенные на рис. 20, а и 20, г, т. е. ступенчатая и синусоидальная функции. Введенные для этих функций понятия стали ценным вспомогательным средством в теории колебаний.

Реакция осциллятора на единичное ступенчатое воздействие называется переходной функцией. Понять, как получается такая функция, помогает рис. 21, который не нуждается в дополнительных пояснениях. Здесь действие возмущения сказывается в скачкообразном

изменении положения равновесия колебательной системы. Процесс перехода из старого положения равновесия в новое описывается переходной функцией, которая в дальнейшем обозначается через

Если входная функция представляется синусоидальной с частотой то по завершении некоторого переходного процесса выходная функция тоже будет периодической функцией с той же самой частотой . Во многих случаях она будет иметь вид синусоиды или хотя бы настолько приближаться к ней, что синусоиду можно рассматривать в качестве хорошего приближения.

Применяя комплексный способ описания, в этом случае можно положить

При этом коэффициент усиления V указывает, во сколько раз амплитуда выходного колебания больше (или меньше) амплитуды входного колебания. Угол определяет сдвиг по фазе между входной и выходной величинами. Теперь введем отношение выходной величины к входной:

Эта комплексная величина называется комплексным коэффициентом усиления колебательной системы или передаточной функцией. В общем случае она не является постоянной и зависит от частоты входного возмущения . Пусть А — амплитуда возмущения; тогда F, а также V и зависят еще и от А, т. е.

Однако для важного класса колебательных систем — линейных систем — амплитуда А возмущения не оказывает никакого влияния на выходные величины и последние зависят только от частоты . При этом график называют амплитудной частотной характеристикой, график — фазовой частотной характеристикой, а годограф — амплитудно-фазовой (комплексной) характеристикой или годографом колебательной системы. В общем случае частотная характеристика определяет изменение какой-либо величины в зависимости от частоты. Пример амплитудной и фазовой характеристик показан на рис. 22.

Комплексный коэффициент усиления F можно также непосредственно представить некоторой кривой, приняв V и за полярные координаты на комплексной плоскости. Здесь каждому значению соответствует пара значений , т. е. точка комплексной плоскости . С изменением эта точка с координатами перемещается и описывает амплитудно-фазовую характеристику (рис. 23). Эта характеристика начинается при на действительной оси и

заканчивается при в начале координат. Последнее является очевидным, так как колебательная система (в силу своей инерционности) не может следовать входному возмущению бесконечно большой частоты и ее реакция на выходе в этом случае равна нулю.

Рис. 22. Амплитудная и фазовая частотные характеристики.

Рис. 23. Годограф (амплитуднофазовая частотная характеристика) осциллятора.

Амплитудно-фазовая характеристика, точно так же, как фазовый портрет и переходная функция, является «визитной карточкой» колебательной системы, позволяющей определить важные свойства этой системы.

Рис. 24. Годограф обратной передаточной функции для осциллятора, представленного на рис 23.

Для некоторых целей в комплексной плоскости удобнее строить не амплитудно-фазовую характеристику, определяемую соотношением (1.23), а годограф обратной передаточной функции

Амплитудно-фазовой характеристике, построенной на рис. 23, соответствует годограф обратной передаточной функции, построенный на рис. 24 (обратная амплитудно-фазовая характеристика). Годограф обратной передаточной функции также всегда начинается на действительной оси, но при уходит в бесконечность.