3.3.3. Фрикционные колебания маятника Фроуда

В разд. 3.1.1 уже приводились некоторые примеры фрикционных колебаний — колебания виолончельной струны, визг тормозов и трамвая на повороте, скрип дверных петель, колебания резца на токарном станке.

Рис. 99. Маятник о сухим трением (маятник Фроуда).

Рис. 100. Характеристика сухого трения.

Несмотря на разнообразие систем, процесс возникновения фрикционных автоколебаний во всех случаях одинаков. Рассмотрим этот процесс на простом примере маятника Фроуда, изображенного на рис. 99.

Маятник подвешен на оси, которая вращается с постоянной угловой скоростью Между муфтой маятника и вращающейся осью возникает момент трения, значение которого зависит от величины скорости вращения муфты маятника относительно оси.

Зависимость между моментом трения R и относительной угловой скоростью находится из эксперимента; примерный вид этой зависимости показан на рис. 100. Момент трения имеет наибольшее значение, когда относительная скорость равна нулю (трение покоя). С возрастанием скорости трение уменьшается и приближается к некоторому предельному значению, хотя возможно, что при больших скоростях величина трения снова начнет возрастать.

Спадающая часть кривой трения может явиться причиной возникновения автоколебаний. Это можно показать простым исследованием уравнения энергии. Если скорость колебания маятника в некоторый момент времени равна то момент трения R совершает работу

Если бы момент трения был постоянен, то работа за полное колебание при симметричных колебаниях равнялась бы нулю. Однако момент трения R является функцией относительной скорости . Если кривая трения имеет такую форму, как показано на рис. 100, то при , т. е. при развивается больший момент трения, чем при , т. е. при Поэтому работа, совершаемая моментом трения за полуколебание с больше работы, затрачиваемой на преодоление этого момента за полуколебание с Таким образом, за время полного колебания работа момента трения отлична от нуля и к маятнику подводится энергия. Если эта энергия достаточно велика, чтобы преодолеть имеющиеся системе силы демпфирования, то возможно возникновение автоколебаний.

Если кроме момента трения R на маятник действует сила демпфирования, пропорциональная скорости, то из условия равновесия моментов получается уравнение движения в следущем виде:

Разделив уравнение на момент инерции маятника и положив

получим уравнение (3.57) в виде

Отсюда известным способом находится уравнение фазового портрета (интегральных кривых):

Если функция трения известна, то по этому уравнению можно построить фазовый портрет и тем самым получить общее представление о возможных движениях. Здесь мы ограничимся тем, что рассмотрим некоторые характерные свойства фазового портрета; дальнейшие подробности можно найти, например, в книге Каудерера [10, § 59].

Рис. 101. Фазовый портрет маятника с трением.

Прежде всего видно, что особая точка, т. е. положение равновесия, существует в том случае, когда выполняются условия

В фазовой плоскости (рис. 101) эта точка расположена на оси на расстоянии

    (3.60)

от начала координат. Пока движения маятника остаются столь малыми, что фазовые траектории имеют вид спиралей, которые либо стягиваются к особой точке (3.60), либо раскручиваются. При больших отклонениях маятника может случиться, что и, таким образом, . Тогда ось привода и маятник движутся как одно твердое тело до тех пор, пока сумма силы демпфирования и восстанавливающей силы не достигнет величины силы трения покоя. В этой «точке срыва» маятник начинает двигаться относительно оси. Если сила трения покоя равна то точка срыва находится из условий

    (3.61)

что соответствует точке 1 на рис. 101. Точка срыва лежит на «линии скачка» , на которой все фазовые траектории имеют излом из-за скачкообразного изменения силы трения. Величину этого излома можно определить из (3.59). Покажем, что все фазовые

траектории, подходящие к линии скачка на участке 1—2, при возрастании следуют по этой линии до точки срыва 1. Рассматривая направления, по которым фазовые траектории подходят к участку 1—2 (на рисунке эти направления показаны стрелками), мы обнаруживаем, что дальше траектории могут идти только вдоль линии скачка. Если фазовая траектория достигает линии скачка, то устанавливается такая величина силы трения, что и поэтому продолжение траектории представляет собой горизонтальный отрезок. В этом случае сила трения как раз обеспечивает сцепление муфты маятника с осью привода. Точку 2 (рис. 101), являющуюся левой границей того участка линии скачка, который при этом проходится, можно получить из (3.61), изменив знак Таким образом, точка 2 будет иметь координаты

    (3.62)

Все фазовые траектории, «вливающиеся» в участок 1—2, следуют сначала до точки 1, а далее — по спирали вокруг ранее найденного положения равновесия. Если собственное демпфирование достаточно велико, то эти спирали скручиваются к положению равновесия, не касаясь снова линии скачка. В этом случае автоколебания не возникают; вместо этого все фазовые траекторий стягиваются к положению равновесия.

При малом собственном демпфировании выходящая из точки 1 спираль вновь достигает линии скачка в точке 3, как показано на рис. 101. Вместе с участком 3—1 дуга спирали образует замкнутую кривую, представляющую собой предельный цикл системы. Все фазовые траектории, где бы они ни начинались, в конце концов вливаются в этот предельный цикл. В то время как во многих других автоколебательных системах предельный цикл нужно искать методом проб, а именно варьированием начальных условий, здесь предельный цикл полностью задается прямолинейным отрезком, замыкающим вполне определенную фазовую траекторию. В рассматриваемом здесь случае фазовые траектории не приближаются к предельному циклу асимптотически, а в точности совпадают с ним после конечного числа оборотов.

В зависимости от величины демпфирования, трения и скорости вращения оси привода, а также прежде всего в зависимости от вида функции трения возможны многочисленные формы движения маятника, которые здесь не будут рассматриваться. Следует только указать, что при достаточно большом трении покоя может иметь место случай, когда не будет существовать точки срыва. Как видно из (3.61), это происходит при

когда аргумент функции в (3.61) становится большим единицы, так что действительного решения не существует. В этом случае маятник просто равномерно вращается вместе с валом, как будто он жестко закреплен на нем.

Наконец, исследуем устойчивость положения равновесия. Для этого достаточно рассмотреть поведение фазовых траекторий в непосредственной окрестности положения равновесия, т. е. устойчивость в малом. С этой целью положим и будем считать настолько малым, что можно принять тогда

Функция трения в непосредственной окрестности рабочей точки. раскладывается в ряд Тейлора, причем, в силу того что здесь можно положить

(индекс 0 у производной относится к значению ). Пренебрегая членами высшего порядка в ряде Тейлора и учитывая условие равновесия (3.60), из (3.58) получаем уравнение движения

Поведение осциллятора, описываемого линейным дифференциальным уравнением такого вида, рассматривалось в гл. 2. Осциллятор совершает колебания, характер которых зависит от коэффициента при Производная, входящая в этот заключенный в квадратные скобки коэффициент, отрицательна, когда рабочая точка выбрана так, как это показано на рис. 100. Если

то коэффициент при равен нулю и в непосредственной окрестности положения равновесия происходят незатухающие колебания. В случае

получаются затухающие колебания, а в случае

— нарастающие колебания. В последнем случае изображающая точка, движущаяся вдоль фазовой траектории и характеризующая текущее состояние маятника, через некоторое время покидает

окрестность положения равновесия и приближается к предельному циклу, о котором речь шла выше. Таким образом, неравенство (3.66) является условием возбуждения колебаний рассматриваемого маятника с трением.