5.4.3. Гармоническое возмущение демпфированных нелинейных осцилляторов

5.4.3.1. Линейное демпфирование и жесткая восстанавливающая сила.

Подставим в исходное уравнение (5.110) следующие функции:

Если ввести безразмерное время , то уравнение движения примет следующий вид:

    (5.141)

Решим уравнение (5.141) приближенным образом, и для этого, согласно методу гармонического баланса, заменим жесткую восстанавливающую силу линейным выражением с коэффициентом, зависящим от отклонения:

где

    (5.142)

Если теперь ввести относительную собственную частоту осциллятора также зависящую от отклонения, положив

    (5.143)

то уравнение (5.141) приведется к виду

    (5.144)

Периодическим решением этого линейного уравнения будет

где

    (5.145)

В отличие от ранее рассмотренного случая величина теперь зависит от амплитуды А, так что равенство (5.145) следует рассматривать как уравнение для А:

    (5.147)

Поскольку, согласно формуле (5.143), меняется как является кубическим уравнением относительно Его решение дало бы зависимость амплитуды А от относительной частоты возмущения Однако в этом случае целесообразнее найти зависимость частоты от амплитуды , так как относительно представляет собой квадратное уравнение и может быть решено элементарно. После подстановки (5.143) в уравнение (5.147) последнее переходит в

Решением этого уравнения будет

    (5.148)

Отсюда для каждого А можно найти соответствующее значение . В зависимости от величины входящих в это уравнение параметров может быть два, одно или же ни одного действительного решения для . Однако здесь мы не будем вдаваться в обсуждение возможностей решения, а лишь заметим, что построенные согласно (5.148) резонансные кривые оказываются гораздо разнообразнее, чем в случае линейных систем. Здесь кроме коэффициента демпфирования D существенное влияние оказывают величины а и Амплитуда возмущения практически не влияла на поведение линейных систем. В то же время поведение нелинейных систем самым существенным образом зависит от амплитуды и эту зависимость нужно рассмотреть подробно.

Исследуем некоторые характерные свойства резонансных кривых нелинейных систем. Два семейства кривых такого рода представлены на рис. 174 и 175, причем рис. 174 соответствует , а рис. 175 — . Сравним эти кривые с семейством кривых для линейного случая (рис. 147). Нелинейность, выраженная коэффициентом а, вызывает изгиб пиков отдельных резонансных кривых При пики изгибаются вправо, т. е. в направлении больших значений

, а при влево, т. е. в направлении меньших значений . Следствием этих изгибов является существование областей частот в которых некоторому фиксированному значению соответствуют три значения амплитуды А, т. е. три возможных решения уравнения (5.147).

Рис. 174. Резонансные кривые нелинейного осциллятора с кубической восстанавливающей силой при

Максимумы изогнутых резонансных кривых определить нетрудно. Для этого нужно лишь найти кратный корень уравнения (5.148), т. е. условие того, что подкоренное выражение обращается в нуль. Это условие дает квадратное уравнение для решением которого будет

Соответствующее значение получается по формуле (5.148):

Фазовые характеристики рассматриваемой системы также существенно отличаются от фазовых характеристик линейной системы. На рис. 176 и 177 изображены фазовые характеристики, соответствующие рис. 174 и 175. Они определяются формулой (5.146) с учетом

причем, конечно, нужно учитывать зависимость амплитуды от частоты

Замечательное явление, типичное для нелинейных систем, — это скачок стационарной амплитуды при медленном квазистационарном прохождении «нависающей» части резонансной кривой. Такого рода кривая построена на рис. 178.

Рис. 175. То же, что на рис. 174, при

Если частоту возмущения увеличивать, начиная с малых значений, то амплитуда стационарного колебания будет возрастать в соответствии с верхней ветвью резонансной кривой. После прохождения максимума амплитуда несколько убывает — до изгиба резонансной кривой в точке А. При дальнейшем увеличении частоты стационарная амплитуда должна скачком принять значение, которое соответствует точке В на нижней ветви резонансной кривой. Таким образом, стационарная амплитуда скачком меняет свое значение от до В; это явление называется также «опрокидыванием». Соответствующее явление повторяется при уменьшении частоты возмущения: здесь амплитуда сначала меняется в соответствии с нижней ветвью резонансной кривой до точки С. Затем следует скачок из точки С в точку D, который приводит амплитуду в соответствие с верхней ветвью резонансной кривой, единственно возможной для меньших значений Одновременно с амплитудой скачкообразно меняется и «стационарный» фазовый угол как показывает рис. 176.

Рис. 176. Фазовые характеристики нелинейного осциллятора с кубической восстанавливающей силой при

Рис. 177, То же, что на рис. 176, при

Рис. 178. Скачок амплитуды.

Скачкообразные изменения амплитуды могут совершенно аналогично происходить и в том случае, когда резонансная кривая изогнута влево. Здесь возможны еще более сложные варианты, так как имеются случаи (например, кривая для на рис. 175), когда резонансная кривая состоит из двух независимых частей.

Следует заметить, что скачки имеют место только для стационарной амплитуды. Истинная амплитуда в процессе перехода нестационарна, так как при скачке возбуждаются и собственные колебания и новая стационарная амплитуда устанавливается только после затухания этих колебаний.

Если существует несколько стационарных значений амплитуды, то, согласно результату, полученному в разд. 5.4.2.3, можно ожидать, что не все эти значения соответствуют устойчивым формам движения. Более подробное исследование движений, близких к стационарным, которое мы здесь не будем проводить (см., например, [10, 19]), показывает, что для изображенного на рис. 178 случая идущая назад ветвь соответствует неустойчивому движению, поэтому она и изображена штриховой кривой. Для осциллятора с одной степенью свободы в общем случае можно показать, что границы между устойчивой и неустойчивой частями резонансных кривых всегда характеризуются точками, в которых касательные к резонансным кривым вертикальны.

Рис. 179. Энергетическая диаграмма для нелинейных вынужденных колебаний,

Впрочем, факт неустойчивости колебаний, соответствующих средней ветви резонансной кривой, можно установить из баланса энергии — равенства (5.112). В данном случае за одно полное колебание демпфированием поглощается энергия

    (5.152)

и поступает от внешнего возмущения энергия

    (5.153)

Приравнивая эти значения, можно опять определить возможные стационарные амплитуды А. Для исследования устойчивости строятся графики значений энергии в зависимости от амплитуды (рис. 179), причем следует учесть, что в огличие от линейного случая также является функцией А (см. формулу (5.151)). В то время как в линейном случае кривая поступающей энергии Ее представляла собой прямую (кривая на рис. 151), изображенная на рис. 179 кривая имеет четко выраженный максимум. В некоторых случаях парабола энергии поглощаемой демпфированием, может трижды пересекать кривую Ее. Характер изменения амплитуды можно определить по разности энергий Ее Если энергии поглощается больше, чем подводится, то амплитуды уменьшаются. Характер протекающих процессов указан стрелками на рис. 179. Из рисунка непосредственно видно, что стационарные значения амплитуд соответствуют устойчивым движениям, в то время как значение соответствует неустойчивому движению