6.2. Колебательная система с произвольным числом степеней свободы

В дальнейшем будут рассмотрены совершенно общие колебательные системы со сколь угодно большим числом степеней свободы. Число координат , необходимое для однозначного описания движения таких систем, равно числу степеней свободы. При принципиально несложных, но из-за наличия многих степеней свободы весьма трудоемких вычислениях мы будем придерживаться обозначений, принятых в тензорном исчислении и позволяющих сократить записи. Различные координаты отличаются индексами и могут рассматриваться как компоненты одного вектора х. Соответствующим образом характеризуются двойными индексами и входящие в уравнение движения коэффициенты, например . В общем случае коэффициенты образуют квадратные матрицы и оба индекса могут пробегать свои интервалы значений независимо друг от друга. В особых случаях, например при записи определителей миноров или производных, применяются дополнительные индексы.

Далее мы будем следовать известному правилу суммирования Эйнштейна, согласно которому в выражениях произведений следует суммировать по всем индексам, встречающимся хотя бы дважды.

Это правило мы распространим и на произведения функций, но не на суммы и разности, для которых правило суммирования недействительно. Если в виде исключения нельзя суммировать по одному из многократно встречающихся индексов, то он заключается в круглые скобки; таким образом, стоящие в скобках индексы при следовании правилу суммирования не учитываются.

Для наглядности приведем некоторые примеры использования принятых обозначений:

6.2.1. Уравнения движения линейного недемпфированного осциллятора и их решение

Рассмотрим консервативный (т. е. недемпфированный) осциллятор и снова используем при составлении уравнений его движения уравнения Лагранжа второго рода:

где каждому значению соответствует одно из уравнений движения. Чтобы составить выражения для энергии, прежде всего обратим внимание на то, что потенциальная энергия в самом общем случае является функцией координат. Разложим эту функцию в ряд Тейлора относительно некоторого определенного состояния:

Надлежащим выбором начала отсчета энергии устраняется первый член правой части. Однако второй член также исчезнет, если разложение провести относительно такого состояния, которое соответствует положению равновесия. В консервативных системах положения равновесия характеризуются экстремальными значениями потенциальной энергии и для них первые производные обращаются в нуль. Если положение равновесия устойчиво, то потенциальная энергия имеет в нем минимум, и следовательно, третий член разложения должен быть в этом случае положительной квадратичной формой координат системы. Далее мы будем рассматривать малые колебания около положения равновесия и поэтому сможем пренебрегать членами высших порядков. Это полностью соответствует обычной при методе малых колебаний линеаризации уравнений движения. Если использовать обозначения

то выражение потенциальной энергии запишется в виде квадратичной формы

Отсюда для системы с одной степенью свободы будем просто иметь

Если речь идет о потенциальной энергии напряженной пружины, то равно удвоенной жесткости пружины (поскольку означает деформацию пружины).

Если х — пространственные координаты, то кинетическая энергия произвольной механической системы представляется интегралом

причем интегрирование проводится по всем входящим в систему массам. По определению это выражение всегда положительно. В дальнейшем нам потребуются некоторые результаты аналитической механики, которые мы будем приводить без доказательства. Один из них состоит в следующем: для системы твердых тел, обычно

рассматриваемой в теории колебаний, интеграл кинетической энергии может быть вычислен и значительно упрощен. Для этого целесообразно ввести обобщенные координаты, в которых х, например, может являться углом. Тогда будет положительно определенной квадратичной формой

    (6.44)

матрица коэффициентов которой симметрична . В механических осцилляторах коэффициенты представляют собой численные меры масс или моментов инерции.

Применение уравнений Лагранжа (6.41) и выражений (6.43) и (6.44) для энергий приводит к уравнениям движения

Полагая получаем систему уравнений для коэффициентов

которая имеет ненулевые решения только тогда, когда определитель из коэффициентов при равен нулю:

Вычисление этого определителя приводит к алгебраическому уравнению степени относительно все корни которого являются отрицательными действительными величинами. Это также можно видеть непосредственно из уравнения (6.46), которое для наших целей можно записать в следующем виде:

Умножив это уравнение на , получим

или

Если теперь рассматривать колебания, происходящие около положения равновесия, то в силу (6.43) и (6.44) числитель и знаменатель этой дроби будут положительно определенными квадратичными формами, так что Теперь можно положить , где — действительная величина. Каждому корню соответствуют два корня X, которые отличаются только знаком:

Если исключить вырожденные случаи, когда имеют место кратные корни, то общее решение уравнений движения можно записать в

В этом решении содержится постоянных, которые мы сначала заменим таким же количеством других постоянных, положив

При этом выражение (6.48) примет простой вид:

Между постоянных существуют еще другие зависимости, которые получаются при подстановке в систему исходных уравнений (6.45) частного решения, обозначенного, например, индексом :

что

Так как эти равенства должны выполняться в любой момент времени, отсюда получаются две системы уравнений для определения считающихся теперь неизвестными постоянных

Поскольку каждая из этих систем, содержащая уравнений, однородна, она имеет ненулевые решения только тогда, когда ее определитель равен нулю, так что из нее можно найти только отношения искомых величин. Поэтому положим

Из того факта, что получающиеся из систем (6.51) уравнения для определения и идентичны, следует, что

Таким образом решение (6.49) принимает вид

В это общее решение входят только постоянных — как раз столько, сколько нужно для того, чтобы удовлетворялись начальные условия. Согласно формулам (6.54), общее решение состоит

из гармоник, которые в общем случае входят в каждую координату и складываются, не оказывая никакого влияния друг на друга. В различных координатах отдельные гармоники находятся или в одинаковой фазе или в противофазе при отсутствии демпфирования другие сдвиги по фазе невозможны. Если задана амплитуда одной гармоники для какой-либо координаты, то тем самым определяются амплитуды этой гармоники и для всех остальных координат. Матрица полностью определяет распределение амплитуд отдельных гармоник во всех координатах. Поэтому х называют коэффициентами распределения.