3.5. Задачи

20. Найти линейное приближение нелинейного дифференциального уравнения Релея

и вычислить приближенные значения амплитуды А и частоты со стационарных колебаний. (Уравнение Релея описывает колебания лампового генератора с измененной по сравнению с рис. 97 схемой включения.)

21. Вычислить амплитуду указанных в задаче 20 колебаний, полагая и исходя из условия, что пристационарных колебаниях в течение одного полного колебания не происходит ни подвода энергии, ни ее потери.

22. Найти линейное приближение для дифференциального уравнения

и вычислить приближенные значения частоты и амплитуды стационарных колебаний.

23. Колебательная система, в которой возможны автоколебания, описывается дифференциальным уравнением

Найти амплитуду стационарных колебаний, используя: а) решения в областях без каких либо дополнительных допущений; б) приближенные решения, полученные методом гармонического баланса.

24. Колебательная система описывается линейным дифференциальным уравнением

причем функция сдвинута по времени на величину относительно функции х. Найти условие возбуждения, используя энергетическое равенство и полагая .

25. Колебания несущего крыла самолета при импульсном возмущении описываются дифференциальным уравнением

т. е. функция пропорциональна углу атаки и квадрату скорости полета и. С колебаниями связаны отличающиеся от них на фазовый угол крутильные колебания крыла Из условия энергетического баланса определить критическую скорость полета, при превышении которой следует опасаться возникновения незатухающих колебаний — флаттера.

26. Определить период колебаний Т часового маятника, у которого уменьшение амплитуды колебаний за счет сухого трения компенсируется импульсом s (t), приложенным в момент прохождения положения равновесия (см. рис. 96). Колебания такого маятника описываются уравнением

На сколько секунд за сутки часы отстают из-за трения, если

27. Определить период колебания маятника в задаче 26, если в точках изменения направления движения прикладываются импульсы, направленные: а) к положению равновесия и б) от положения равновесия.

На сколько секунд за сутки часы спешат в случае а) и соответственно отстают в случае б), если

28. Регулятор с запаздыванием описывается дифференциальным уравнением

причем функция запаздывает на время по отношению к Определить период колебаний Т и их амплитуду А, а также среднее значение в случае

29. Пусть у -генератора, изображенного на рис. 117, , и пусть характеристика усилителя приближенно описывается соотношением

Найти крутизну характеристики в нулевой точке, соответствующую границе возбуждения автоколебаний, и для случая вывести приближенные выражения для частоты и амплитуды возникающих колебаний.

30. Для С-генератора с характеристика усилителя приближенно описывается соотношением

Из уравнения фазового портрета (3.88) (см. также рис. 119) определить наименьшую крутизну характеристики в нулевой точке, при которой могут возникнуть автоколебания. В случае определить амплитуду А этих колебаний непосредственно из уравнения (3.88).