2.1.1.6. Осциллятор с непрерывно распределенными накопителями энергии.

До сих пор в рассмотренных осцилляторах накопители потенциальной и кинетической энергии всегда определялись однозначно и четко разграничивались.

Рис. 37. Осциллятор в виде винтовой пружины постоянного сечения.

В этом, однако, заключается идеализация проблемы, так как, например, у осцилляторов, состоящих из массы и пружины, мы пренебрегали, с одной стороны, массой пружины, а с другой — возможными упругими деформациями массы. Во многих случаях это вполне допустимо, но легко представить себе ситуации, когда такого рода допущения уже не могут приводить к положительным результатам. Если, например, в осцилляторе, изображенном на рис. 25, заключенная между пружинами масса выбирается все меньшей и в пределе совсем исчезает, то получается система, которая способна колебаться (рис. 37), но в которой оба накопителя энергии непрерывно распределены по всей длине пружины. Каждый участок пружины имеет определенную массу и поэтому может накапливать кинетическую энергию; кроме того, он обладает способностью накапливать потенциальную энергию за счет упругих деформаций. Составим уравнение движения и для этого случая.

Пусть координата элемента пружины в состоянии покоя (рис. 37), и пусть смещение элемента пружины в направлении х во время движения. Рассмотрим элемент пружины и составим для него уравнение движения и соответственно условие равновесия сил. Если масса единицы длины пружины, то сила инерции будет равна

В общем случае во время движения элемент пружины испытывает и растяжение, которое можно определить как отношение удлинения элемента к его первоначальной длине,

и возникает упругая сила, пропорциональная растяжению:

На элемент пружины теперь действует разность соответствующих упругих сил, приложенных на концах этого элемента, т. е.

Условие равновесия сил имеет вид

или при

вид

Это дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка — одномерное волновое уравнение.

Точно таким же образом, как это было сделано для продольных колебаний пружины, можно вывести уравнение продольных колебаний упругого стержня. Ход рассуждений будет полностью аналогичен, но в этом случае целесообразно ввести модуль упругости Е и плотность материала стержня. Таким образом приходят к уравнению движения (2.42), где константа имеет значение

Подобно тому как осциллятор, состоящий из массы и пружины, путем предельного перехода превращается в осциллятор с непрерывно распределенными накопителями энергии, резонатор Гельмгольца

(рис. 30), заменив сферическую полость длинной трубкой, можно превратить в осциллятор, в котором накопители кинетической и потенциальной энергии непрерывно распределяются по всей длине трубки. Таким же образом получаются осцилляторы типа органной трубы или флейты. В целях экономии места мы не будем выводить уравнения движения для этого случая, а только укажем, что здесь снова получается уравнение (2.42) с постоянной

где — давление, — плотность газа. Величина с в этом случае имеет вполне определенный физический смысл: она представляет собой скорость звука в газе.

Рис. 38. Колеблющаяся струна.

До сих пор мы рассматривали только продольные колебания, но легко показать, что аналогичные результаты получаются и для поперечных колебаний. В изображенной на рис. 37 винтовой пружине могут быть возбуждены колебания в направлении, перпендикулярном направлению х. Тогда пружина колеблется как натянутая струна, и в основу следующего ниже вывода может быть положен рис. 38. Отклонения струны, перпендикулярные теперь направлению х, обозначены через . Составим уравнение равновесия элемента струны длиной . Если — масса единицы длины, то сила инерции равна

Если сила натяжения струны равна 5, то при отклонениях составляющая этой силы в направлении имеет величину

причем такое приближение тем лучше, чем меньше угол наклона а. Действующие на концы элемента струны вертикальные составляющие силы К взаимно почти уничтожаются, так что остается лишь разнбсть

Если

то условие равновесия вертикальных сил, действующих на элемент струны, снова приводит к тому же самому уравнению движения, какое было выведено для продольных колебаний:

Не останавливаясь на общем решении этого волнового уравнения, рассмотрим здесь лишь процесс колебаний во времени. Отклонение является функцией как времени t, так и координаты х. Можно найти некоторые частные решения уравнения (2.46), представив искомую функцию в виде произведения двух функций: функции, зависящей только от времени, и функции, зависящей только от координаты:

Подставляя (2.47) в (2.46) и разделяя переменные, приходим к уравнению

Левая часть данного уравнения зависит только от времени t, а правая — только от координаты х. Это возможно лишь тогда, когда обе части уравнения равны одной и той же постоянной, не зависящей ни от времени, ни от координаты. Эту постоянную выбирают равной так как легко убедиться в том, что с физической точки зрения имеют смысл только ее отрицатедьные значения. Если рассмотреть указанные колебания в положении то в общем случае можно предположить, что Поэтому при отклонении в положительном направлении l будет но тогда возникает восстанавливающая сила, и, значит,

Теперь уравнение (2.48) можно разделить на два отдельных уравнения:

Отсюда видно, что в рассматриваемых в этом разделе осцилляторах с уравнением движения (2.46) возможны формы движения, при которых для каждого положения х имеет место дифференциальное уравнение вида (2.49), точно соответствующее уравнению движения большого числа простых осцилляторов. Следует также заметить, что постоянная со не может быть выбрана произвольным образом, так как граничные условия, например условия на концах струны, выполняются только для совершенно определенных дискретных значений (собственных значений)