2.1.3.3. Применения гравитационного маятника.

Дифференциальные уравнения движения плоского математического маятника идентичны уравнениям движения физического маятника. Для входящего в уравнение параметра, круговой частоты , мы имеем в случае математического маятника , а в случае физического маятника

Отсюда видно, что для физического маятника можно определить эквивалентную длину L:

подстановка которой в формулы для такого маятника приводит эти формулы в точности к тому же виду, что и для математического маятника. Величина L называется приведенной длиной физического маятника.

В применениях гравитационного маятника интересуются также изменением периода колебания из-за смещения оси вращения. Так как в выражении периода колебания в качестве единственной величины, измеряемой приборами, входит приведенная длина маятника L, однозначно определяющая период колебания, достаточно исследовать лишь изменение приведенной длины маятника L из-за смещения оси вращения.

Если ось вращения меняет свое положение, то меняется и момент инерции . Поэтому целесообразно исходить из момента инерции относительно центра тяжести и произвести перерасчет при помощи теоремы Гюйгенса — Штейнера:

Если к тому же использовать известное представление момента инерции как произведение массы на квадрат радиуса инерции

то из (2.86) и (2.85) следует, что

На рис. 50 изображена приведенная длина L как функция расстояния s центра тяжести от точки подвеса. Как легко установить из (2.87), эта функция имеет минимум при причем минимальное ее значение равно . Наличие минимума показывает, что в этой области незначительные изменения расстояния до центра тяжести в первом приближении не оказывают существенного влияния на приведенную длину маятника, а вместе с тем и на период колебания. Этот факт был использован Шулером при конструировании маятниковых часов особо высокой точности. Маятник, в котором выполнено условие минимума, называют минимальным маятником или скомпенсированным маятником. Период колебания такого маятника равен

Из того, что период колебания не зависит от изменения расстояния до центра тяжести, еще нельзя сделать вывод, что и температурные изменения длины маятника не оказывают существенного влияния. Такого рода изменения сказываются не только на изменении расстояния s до центра тяжести, но и на соответствующем

изменении радиуса инерции который входит в формулу периода колебания (2.88). Минимальный маятник может в значительной мере реагировать и на те изменения, которые возникают из-за износа призм подвеса с течением времени.

Рис. 50. Приведенная длина физического маятника как функция расстояния центра тяжести от точки подвеса.

Рис. 51. Реверсивный маятник.

Как показывает рис. 50, для каждого значения существуют два значения s, которые дают эту приведенную длину маятника и соответствующий период колебания. Оба эти значения можно определить из квадратного относительно s уравнения (2.87):

Отсюда после сложения корней уравнения (2.89) следует соотношение . Это соотношение дает основание для применения так называемого реверсивного (оборотного) маятника (рис. 51). Принцип его действия легко понять, если представить, что расстояния от центра тяжести могут быть отложены в противоположных направлениях. Поэтому для каждого физического маятника можно определить две точки подвеса, расположенные по разные стороны от центра тяжести и на различном расстоянии от него и такие, что периоды колебаний будут одинаковы. Эти точки можно найти экспериментально, заставляя маятник попеременно колебаться относительно двух осей, хотя бы одна из которых может перемещаться вдоль стержня маятника. Когда периоды колебаний относительно обеих осей будут одинаковы, расстояние между осями будет в точности равно приведенной длине маятника

Реверсивный маятник используется при точных измерениях ускорения свободного падения. При этом наряду с приведенной длиной маятника L определяется

период колебаний Т, и тогда ускорение свободного падения вычисляется по формулам

Еще одним примером применения гравитационного маятника является определение момента инерции тел сложной формы. Пусть, например, требуется найти момент инерции махового колеса, изображенного на рис. 52, относительно центра тяжести.

Рис. 52. К нахождению момента инерции при помощи маятниковых колебаний

Это можно осуществить путем измерения периода колебаний относительно любой точки колеса. Момент инерции рассчитывается по периоду колебания Т, расстоянию центра тяжести s и общей массе m колеса. Расчет производится по формуле

которая следует из (2.87) и (2.90).