6.2.2. Главные координаты и главные колебания

Каждая гармоника в общем решении (6.54) может быть представлена в виде новой координаты

при этом (6.54) принимает вид

где величины можно теперь рассматривать как главные координаты. По определению каждая из главных координат может описывать только одно гармоническое колебание с одной из собственных частот системы, так что движение в исходных координатах складывается из различных возможных главных колебаний.

Между исходными координатами и главными координатами существует заданная уравнениями (6.56) линейная зависимость. Разрешая эти уравнения относительно получаем

где — матрица, обратная матрице

Из равенств (6.55) видно, что каждая из главных координат удовлетворяет дифференциальному уравнению

Но такие уравнения движения можно получить из уравнений Лагранжа только тогда, когда в главных координатах кинетическая энергия и потенциальная энергия не содержат членов с произведениями координат, например

Точно так же как это было сделано для колебаний с двумя степенями свободы, в самом общем случае линейной колебательной системы для определения главных координат нужно найти такое линейное преобразование координат, которое одновременно приводит

квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий к главным осям (т. е. к сумме квадратов). Практически это преобразование к главным осям осуществляется при помощи уравнений (6.56) и (6.57).

Теперь мы выведем еще одно важное соотношение между коэффициентами распределения х, относящимися к различным главным колебаниям. Согласно уравнениям (6.51) и (6.52), коэффициенты х для колебания удовлетворяют уравнениям

которые можно записать в виде

    (6.60)

Заметим, между прочим, что отсюда находится выражение для частоты

Если известно распределение амплитуд для колебания, т. е. известны элементы столбца матрицы х, то частота этого колебания может быть вычислена по формуле (6.61).

Припишем теперь к уравнению (6.60), записанному для колебания, соответствующее уравнение для колебания, умножив первое уравнение на а второе — на

Так как мы имеем

Следовательно, входящие в левые части равенств выражения имеют одинаковую величину. Далее, и поэтому коэффициенты при частотах в правых частях равенств тоже равны. Вычитая одно уравнение из другого, получаем

Так как по предположению частоты должны быть различными, это условие выполняется только в том случае, когда

Это — общая форма так называемого соотношения ортогональности, которому удовлетворяют коэффициенты распределения амплитуд. По аналогии с соответствующими формулировками векторного исчисления говорят, что «векторы» ( и s при этом — фиксированные числа!) ортогональны относительно матрицы

, которая определяется распределением масс колебательной системы.

Соотношение ортогональности (6.62) упрощается, если в системе отсутствуют связи между массами. Тогда все при обращаются в нуль и двойная сумма (6.62) переходит в одинарную сумму

С учетом равенств (6.53) это соотношение можно записать также в виде

Значение соотношения ортогональности состоит прежде всего в том, что оно позволяет существенно упростить весьма сложное выражение для кинетической энергии, а ведь именно на этом выражении основываются многочисленные способы расчета колебаний, например собственных колебаний. Если в формулу (6.44) подставить выражения (6.54), то получится

В силу равенств (6.62) эта четырехкратная сумма (по индексам ) существенно упрощается и принимает вид

Отсюда видно, что общая кинетическая энергия складывается из значений энергии, которые вычисляются для отдельных гармоник (главных колебаний).

Впрочем, выражения для энергии, относящиеся к одной из гармоник колебаний, можно использовать (как это было показано выше для случая двух степеней свободы) для того, чтобы составить частное Релея, позволяющее определить собственные частоты. При этом следует использовать тот факт, что из-за отсутствия сил демпфирования максимальные значения кинетической и потенциальной энергии должны быть равны. Для максимальной кинетической энергии из формулы (6.66) получаем

Соответственно для потенциальной энергии из формулы (6.43) с учетом (6.54) имеем

Приравняв эти выражения, получим частное Релея

Если входящую в х частоту рассматривать как независимую переменную, то R будет функцией . Как и в случае с двумя степенями свободы, собственные частоты характеризуются тем, что при них принимает экстремальные значения. На этом свойстве основывается широко используемый метод Релея для нахождения собственных частот.