6.1.6. Влияние демпфирования на связанные колебания

До сих пор мы рассматривали лишь недемпфированные связанные колебания, а теперь исследуем влияние демпфирования в общем виде, не имея при этом в виду конкретный осциллятор. Как при исследовании простых осцилляторов с одной степенью свободы, примем силы демпфирования пропорциональными скоростям. В самом общем случае линейной колебательной системы с двумя степенями свободы нужно исследовать следующую систему уравнений движения:

Считая решения экспоненциальными функциями, как обычно делается при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, получаем характеристическое уравнение четвертой степени

Если четыре корня этого уравнения, то общее решение уравнений движения можно представить в виде

Коэффициенты отдельных составляющих в обоих координатах, как и в предыдущих случаях, не являются независимыми друг от друга, а связаны соотношением

Таким образом, в решение (6.37) входят четыре постоянные, которые нужно определить из начальных условий.

В зависимости от величины коэффициентов демпфирования корни характеристического уравнения (6.36) могут быть действительными или комплексными. В частности, возможен случай, когда два корня являются действительными, а два — комплексно сопряженными. Здесь мы остановимся лишь на наиболее интересном случае комплексных корней, которые должны быть попарно сопряженными. Тогда следует записать

причем — действительные величины.

Теперь в уравнении (6.37) можно объединить два члена решения в один колебательный член точно так же, как это уже было сделано для колебаний с одной степенью свободы, и решение примет вид

где

Таким образом, общее решение представляется суммой двух демпфированных колебаний. И в этом случае можно было бы разрешить систему (6.40) относительно демпфированных составляющих колебаний, чтобы таким путем найти главные колебания и главные координаты. Однако соотношения здесь намного сложнее, чем в недемпфированном случае, так как отношения амплитуд (6.38) также становятся комплексными. Поэтому в преобразование, приводящее к главным координатам, должны были бы входить комплексные коэффициенты; при этом преобразование становится запутанным и не имеет какого-либо практического значения, тем более что наглядность, присущая главным координатам, теперь утрачивается.

В вынужденных колебаниях влияние демпфирования сказывается прежде всего в том, что разрывы резонансных кривых заменяются конечными пиками. Но одновременно исчезает и показанный на рис. 189 нуль резонансной функции первой массы.