2.2.2. Линейный осциллятор

2.2.2.1. Преобразование общего уравнения.

В самом общем случае коэффициенты уравнения движения линейного демпфированного осциллятора с одной степенью свободы могут являться функциями времени. Тогда можно написать

    (2.119)

Это линейное уравнение всегда можно преобразовать так, что второй член (соответствующий демпфированию) исчезнет. Введя новую переменную

приведем уравнение (2.119) к виду

Теперь решения уравнения (2.119) можно получить из соответствующих решений уравнения (2.121), что может оказаться чрезвычайно полезным для расчета линейных осцилляторов.

Здесь мы ограничимся случаем постоянных коэффициентов (некоторые явления, возникающие при зависящих от времени коэффициентах,

будут обсуждаться в дальнейшем; см. гл. 4). В качестве исходного уравнения используем (2.115), однако все проводимые рассуждения будут в равной мере относиться и к совершенно аналогичному уравнению (2.116). Чтобы придать рассуждениям более общий характер, запишем исходное уравнение в безразмерном виде. Полагая

введем безразмерное время

    (2.122)

Это означает, что движения осцилляторов с различными значениями параметров должны описываться в различных масштабах времени. Величина представляет собой, так сказать, растянутое или сжатое (в зависимости от величины круговой частоты ) время, которое называется собственным временем системы. Из (2.122) следует, что

После подстановки этих выражений в исходное уравнение (2.115) и деления на уравнение движения приводится к виду

    (2.123)

где

Эта единственная входящая в уравнение движения константа представляет собой безразмерную величину, так называемый безразмерный коэффициент демпфирования, который был введен Лером [13].

Для недемпфированного осциллятора и в этом предельном случае можно вернуться к результатам проведенного в разд. 2.1 исследования.