5.4.2. Гармоническое возмущение недемпфированного осциллятора с разрывной восстанавливающей силой

В разд. 2.1.3.5 были исследованы собственные колебания нелинейного осциллятора с восстанавливающей силой Теперь мы рассмотрим вынужденные колебания этого же осциллятора, порожденные гармоническими возмущающими силами. При отсутствии демпфирующих сил уравнение движения имеет вид

    (5.117)

5.4.2.1. Точные решения для равнопериодических колебаний.

Так как восстанавливающая сила кусочно постоянна, уравнение (5.117) можно проинтегрировать, после чего получится

    (5.118)

где — постоянные интегрирования. Знак минус ставится при знак плюс — при Будем ожидать, что возможны периодические решения с периодом, равным периоду возмущения, при которых колебания в областях являются зеркальными отражениями. Если — точки, в которых принимает нулевое значение и которые ограничивают область то периодические решения можно искать из условий

    (5.120)

Таким образом, для определения трех неизвестных величин Си получаются три уравнения. Предполагая, что период функции равен периоду возмущения, имеем Подставляя решение (5.119) в условия (5.120) и (5.121), после простых преобразований находим, что должно удовлетворять условию и в итоге получим

    (5.122)

Если из этих значений использовать сначала первое, то постоянные интегрирования будут равны

Вместе с этим мы получим удовлетворяющее условиям периодичности (5.120) и (5.121) решение

    (5.123)

которое, как легко установить подстановкой при соответствует . Таким образом, в общем решении (5.119) следует взять относящийся к области знак минус.

Теперь найдем зависимость максимального отклонения (амплитуды) от частоты возмущения. Положение максимума определяется из условия

Легко видеть, что решением этого уравнения, находящимся в рассматриваемой области, является . Для собственно максимального отклонения находим

    (5.124)

Тем самым амплитуда колебания становится известной. Фаза легко находится из условия, что возмущающая функция в рассматриваемой здесь области имеет отрицательные значения. Так как то колебания имеют относительно возмущения сдвиг по фазе, равный т. е. находятся в противофазе (антифазные колебания).

Если взять второе значение U из (5.122), т. е. положить ), то получатся колебания в той же фазе, что и возмущающая функция (синфазные колебания). В этом случае постоянные интегрирования равны

и решение имеет вид

    (5.125)

Как и ранее в общем решении (5.119), здесь взят знак минус. Правда, в отличие от рассмотренного перед этим случая теперь должно выполняться некоторое дополнительное условие. Подставляя находим

Если теперь то амплитуда возмущения не должна быть слишком велика:

    (5.126)

Предполагая, что это условие выполняется, получаем максимальное отклонение при равное

    (5.127)

Полученные в обоих случаях решения можно объединить:

причем верхний знак относится к синфазному, а нижний — к антифазному движению. «Резонансная кривая», соответствующая формуле (5.128), построена на рис. 173. Штриховая ветвь представляет синфазную, а толстая сплошная — антифазную форму колебаний.

Рис. 173. Резонансная кривая нелинейного осциллятора с разрывной восстанавливающей силой.

В дальнейшем мы увидим, что только антифазная ветвь соответствует устойчивому периодическому движению.

Следует заметить, что при получается гипербола, изображенная тонкой линией и расположенная между обеими ветвями. Она показывает зависимость между амплитудой и частотой собственных колебаний. Действительно, в силу равенства (2.100) при имеем