5.1.3. Выбор оптимальных параметров приборов

При применении осцилляторов в физике и технике возникает вопрос о наилучших их параметрах, т. е. такой настройке осциллятора, когда его свойства совпадают с заданными или, насколько это возможно, приближаются к ним. Эту проблему оптимизации, которая имеет большое значение в. технике регулирования, ни в коем случае нельзя рассматривать в отрыве от специфических условий каждого отдельного случая. К тому же требования, предъявляемые к приборам, и прежде всего понимание того, что именно должно считаться оптимумом, слишком различны. Здесь мы ограничимся тем, что на примере простого осциллятора с одной степенью свободы опишем известные методы, характерные для решения вопросов оптимизации.

В электрическом измерительном приборе (амперметр, вольтметр и т. д.) измерительная система образует осциллятор с характерными отличительными признаками: инерция, упругость и демпфирование. Прибор служит для измерения зависящих от времени величин и должен удовлетворять требованию, чтобы его показания (выходные величины) возможно ближе соответствовали подлежащим измерению параметрам (входным величинам). Если входной величиной является ступенчатая функция (включение тока), то выходная величина в колебательном процессе не должна недопустимо отличаться от значения, соответствующего состоянию равновесия, и не слишком медленно переходить к новому равновесному значению. Для этого из изображенных на рис. 136 переходных функций нужно выбрать такую, чтобы значение коэффициента демпфирования D было «наилучшим». Очевидно, что одинаковым образом не подходят как очень малые, так и очень большие значения b. Между тем оптимум все же должен существовать. А что же должно служить критерием для определения оптимума?

Оптимальными можно считать те переходные функции, для которых постоянная времени затухания имеет наименьшее значение. Как видно из формул (5.6) — (5.8), это тот случай, когда здесь постоянная времени затухания Для получается в случае существуют две различные постоянные времени затухания:

В последнем случае при совершенно особых начальных условиях, когда отсутствует составляющая движения с постоянной времени возможно быстрое протекание переходного процесса с малой постоянной времени однако в качестве оптимальной может быть принята только такая настройка, которая дает наиболее быстро протекающий переходный процесс при произвольных начальных

условиях. Требование возможно малой величины времени переходного процесса приводит к «оптимальному» значению

Для характеристики длительности переходного процесса кроме постоянных времени затухания можно также использовать площадь, которая заключена между кривой переходного процесса и прямой положения равновесия на диаграмме . На рис. 139, а и 139, б эта площадь изображена для двух различных значений D. Теперь можно в качестве оптимального взять такое значение D, для которого

Рис. 139. Геометрическая интерпретация интегральных критериев (5.12), (5.13) и (6.20).

Если вычислить интеграл для переходных функций (5.6), (5.7) и (5.8), то во всех трех случаях получится величина Здравый смысл подсказывает, что критерий (5.12) можно применять только для монотонных процессов, т. е. для . Для он становится непригодным, поскольку площади, расположенные по обе стороны прямой, соответствующей новому положению равновесия (рис. 139, б), имеют при интегрировании различные знаки и их сумма не может служить критерием качества переходного процесса. Для монотонных процессов критерий (5.12) дает в качестве наилучшего значения .

Однако этот критерий с небольшой поправкой можно использовать и для . Для этого следует лишь заменить подынтегральное выражение в (5.12) его модулем:

Тогда площади на рис. 139, б будут всегда положительны. Для простого осциллятора интеграл (5.13) можно определить в явном виде. Подставив в (5.13) выражение (5.6), будем иметь

где . Подынтегральное выражение обращается в нуль при

Разбив весь участок интегрирования на отдельные интегралы между нулями подынтегрального выражения, получим

Входящие в (5.15) интегралы можно вычислить по отдельности, что дает

Теперь вследствие (5.14)

а вследствие равенства (2.141) при

Вместе с этим, если принять во внимание, что в (5.15) берутся модули подынтегральных выражений, получится

Учитывая (5.14), выражение (5.17) можно преобразовать:

Так как

величина является функцией только коэффициента демпфирования D. Эта функция имеет минимум при значении которое, таким образом, является оптимальным для критерия (5.13).

При вычислении можно обойтись без необходимого для этого разбиения общего интеграла на его составляющие, если в качестве критерия (см. рис. 139, в) принять

После подстановки переходной функции (5.6), т. е. для осциллятора с одной степенью свободы, будем иметь

Эта функция имеет минимум при значении

Рассмотренные здесь примеры уже показывают трудности при выборе критерия оптимизации. К тому же если учесть, что приведенные соображения справедливы только для переходной ступенчатой функции, соответствующей скачкообразному возмущению, и что в прикладной теории колебаний играют важную роль и многие другие виды возмущающих функций, то становится ясно, что критерий, в равной мере пригодный для всех интересующих случаев, найти весьма затруднительно.

На практике для простых осцилляторов стало обычным использование коэффициента демпфирования, близкого к значению являющемуся оптимальным и в силу других причин, которые будут рассматриваться в разд. 5.2.1.2.