3.3. Примеры автоколебательных систем

3.3.1. Часовой маятник

То обстоятельство, что собственные колебания гравитационного маятника при достаточно малых амплитудах приблизительно изохронны и их период не зависит от величины амплитуды, позволяет использовать период колебания маятника в качестве эталона отрезка времени. При этом, разумеется, нужно позаботиться о том, чтобы однажды возбужденные колебания не затухали. На каждом периоде колебания энергия, затрачиваемая на преодоление демпфирования, должна восполняться при помощи особого механизма. Из-за наличия такого механизма часы являются автоколебательной системой.

Существует много конструкций маятниковых механизмов, отличающихся друг от друга типом возбуждения и характером сил демпфирования; три из них в общих чертах рассматриваются ниже.

3.3.1.1. Движение маятника при постоянном возмущении и квадратичном демпфировании.

Маятник может совершать незатухающие колебания, если его движение поддерживается постоянным моментом. Пример устройства для осуществления таких колебаний приведен на рис. 90. Маятник жестко насажен на вращающуюся ось электромотора, создающего момент постоянной величины. Знак момента соответствует направлению вращения ротора. Изменение знака момента, а следовательно, и направления движения маятника осуществляется контактным рычагом, закрепленным с умеренным трением на оси маятника и замыкающим контакты в зависимости от направления движения.

Рис. 90. Механизм привода гравитационного маятника.

Если предположить, что помимо этого момента, постоянного по величине, но скачкообразно меняющего знак, на маятник действует сила демпфирования, пропорциональная квадрату скорости v, то уравнение движения системы примет следующий вид:

    (3.34)

Здесь — отнесенный к моменту инерции маятника момент мотора, — также отнесенный к моменту инерции коэффициент демпфирования, а круговая частота собственных недемпфированных колебаний маятника.

При помощи уже использованного ранее преобразования

уравнение (3.34) приводится к виду

Замечая, что в каждой из областей выражение, стоящее в правой части уравнения (3.35), зависит только от х и не зависит от v, можно сразу выписать решение этого уравнения;

где и - постоянные интегрирования, а функции имеют вид

Постоянные интегрирования определяются по амплитудным значениям, т. е. по условиям в точках, где Если в первой такой точке а во второй то и решение (3.36) переходит в следующее:

При помощи этих решений можно последовательно найти все точки изменения знака скорости при любой начальной амплитуде (таким же образом, как это было сделано при исследовании собственных колебаний с квадратичным демпфированием). Если начать с то из решения в области находится для которого . В этом случае определяется из уравнения

Полученное значение подставляется в решение в области и получается уравнение для определения :

Такое последовательное определение амплитуд можно осуществить графически, построив на одном чертеже графики функций (рис. 91). Поскольку достаточно построить графики только для положительных значений х. Начиная с заданного

данного значения нужно провести ряд отрезков (см. рисунок), что позволит найти все амплитудные значения. Стационарная амплитуда определяется точкой пересечения кривых

Рис. 91. Переходный процесс для гравитационного маятника с самовозбуждением.

Если то образуют убывающую последовательность. Заметим, что уже должно быть меньше значения х, при котором