2. Собственные колебания

Собственными колебаниями являются движения, совершаемые колебательной системой, которая после кратковременного внешнего возмущения предоставлена самой себе. При этом происходят периодические переходы одного вида энергии в другой, т. е. потенциальная энергия (энергия, определяемая положением системы) переходит в кинетическую энергию (энергию движения) и наоборот. Если сумма этих энергий в процессе колебаний сохраняется, то колебания будут недемпфированными (незатухающими) и система в этом случае называется консервативной. Если энергия системы уменьшается (например, из-за наличия трения), то происходят демпфированные (затухающие) колебания и система называется неконсервативной. В этой главе рассматриваются сначала недемпфированные, а затем демпфированные колебания. В пределах такого разделения отдельно рассматриваются линейные и нелинейные колебательные системы.

2.1. Недемпфированные собственные колебания

2.1.1. Колебательные системы и дифференциальные уравнения их движения

Уравнения движения систем являются дифференциальными уравнениями, так как кроме координаты х в них входят и ее производные по времени. Ниже мы выведем эти дифференциальные уравнения для некоторых типичных колебательных систем.

2.1.1.1. Масса, колеблющаяся на пружине.

Прежде всего рассмотрим систему, состоящую из массы и пружины. Такая система показана на рис. 25, причем масса движется в направлении оси х. Уравнение движения этого простого осциллятора получается из условия равновесия сил, приложенных к массе т. Обе пружины предварительно напряжены, и каждая из них воздействует на массу соответственно с силой

Здесь — сила предварительного натяжения, действующая на массу в положении равновесия. При отклонении от положения равновесия на величину х возникают дополнительные силы, которые для обычных пружин пропорциональны величине отклонения с коэффициентом пропорциональности, равным

Рис. 25. Масса, колеблющаяся в направлении оси пружин.

Силы направлены противоположно, так что на массу действует их разность

Эту силу нужно подставить либо в основной закон Ньютона

либо в уравнение равновесия

в которое, разумеется, следует включить даламберову силу инерции

Здесь дифференцирование по времени, как обычно, обозначается точкой над буквой. Подставляя в (2.2) выражения (2.1) и (2.3), получаем

Если для краткости ввести

то уравнение (2.4) примет вид

Рассматриваемой системе можно также сообщить импульс в вертикальном направлении, так что масса будет колебаться перпендикулярно прежнему направлению (рис. 26). В этом случае получается другое уравнение движения, так как сила действия пружины выражается иначе:

Эта сила имеет для обеих пружин одинаковую величину, а ее направление соответствует направлениям продольных осей пружин. Теперь движение определяется только составляющими этих сил в новом направлении х:

Из условия (2.2) с учетом силы инерции получаем уравнение движения

В отличие от (2.4) это уравнение нелинейно. Если интересоваться только малыми отклонениями массы, то при выражение (2.7) можно упростить:

Рис. 26 Масса, колеблющаяся в направлении, перпендикулярном оси пружин.

При большом предварительном натяжении пружин Ко и малых отклонениях х в этом выражении можно пренебречь вторым членом. Тогда уравнение движения (2.8) становится линейным и принимает ранее рассмотренную форму (2.6).

Однако при отсутствии предварительного натяжения даже в случае малых отклонений нельзя пользоваться приближенным линейным выражением. Восстанавливающая сила в окрестности положения равновесия будет при этом пропорциональной третьей степени отклонения х.

Рис. 27. Масса, подвешенная на пружине и совершающая вертикальные колебания.

Наконец, рассмотрим еще одну систему, состоящую из массы и пружины (рис. 27). Здесь помимо восстанавливающей силы пружины и силы инерции (2.3) следует принять во внимание и силу тяжести , где g — ускорение свободного падения. Условие равновесия (2.2) теперь принимает вид

Последний член этого уравнения не зависит от х. Его можно исключить преобразованием координат

где

Снова используя обозначение (2.5), уравнение (2.10) можно привести к виду