2.1.3. Поведение нелинейных осцилляторов

Консервативные осцилляторы, движение которых описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, уже рассматривались в разд. 2.1.1. Теперь продолжим их рассмотрение, применив для их описания и графического изображения только что изложенные методы. При этом нас прежде всего интересует зависимость координаты от времени и период колебания Т, а также качественный характер движения, о котором можно судить по фазовому портрету.

2.1.3.1. Общие зависимости.

В качестве примера уравнения движения нелинейного осциллятора возьмем уравнение (2.8)

где под можно понимать восстанавливающую силу, совершенно произвольным образом зависящую от х. Поскольку решение такого уравнения в общем виде нельзя найти непосредственно, попытаемся получить приемлемые результаты обходным путем, исходя из

энергетических соображений. Умножим (2.70) на и проинтегрируем по времени:

    (2.71)

При этом

так что соотношение (2.71) снова выражает сохранение полной энергии осциллятора

Отсюда сразу можно получить уравнение фазовой траектории и уравнение фазового портрета. Разрешив (2.71) относительно х, получим

Связь между фазовым портретом и потенциальной энергией можно пояснить графически. В верхней части рис. 46 построен график потенциальной энергии как функции от координаты х, а в нижней в том же масштабе оси х — соответствующий фазовый портрет.

Рис. 46. Энергетическая диаграмма и фазовый портрет осциллятора с нелинейной восстанавливающей силой.

Как и в случае линейного осциллятора (рис. 40), на верхней части рисунка можно провести прямую, параллельную оси х и расположенную на расстоянии от нее. На рис. 46 проведены четыре такие прямые, помеченные цифрами 1—4, что соответствует различным уровням энергии осциллятора.

Точки пересечения прямых с кривой позволяют определить максимальные отклонения осциллятора в обоих направлениях, причем в этих точках, как видно из уравнения Следовательно, таким точкам пересечения соответствуют в нижней части рисунка точки пересечения фазовых траекторий с осью абсцисс (осью х). Для каждого значения х, лежащего между максимальными отклонениями, из (2.72) можно найти значение х и, таким образом, построить фазовую траекторию. В случаях 1 и 2 она по форме близка к эллипсу. Ранее уже было установлено, что все фазовые траектории пересекают ось абсцисс по перпендикуляру к ней; в рассматриваемом же здесь случае они пересекают по перпендикуляру и ось х.

Так как в начале отсчета координаты х достигается минимум потенциальной энергии кинетическая энергия, равная разности здесь максимальна, но тогда из (2.72) следует, что максимум имеет и х. Части фазовых траекторий, лежащие в нижней полуплоскости, представляют собой зеркальные отражения частей, лежащих в верхней полуплоскости. Каждая из этих частей соответствует одному из значений корня (2.72).

Все прямые которые могут быть проведены между отметками 0 и 3, соответствуют фазовым траекториям, имеющим форму эллипсов (таким, как фазовые траектории 1 и 2 на рис. 46). Прямая помеченная цифрой 3, соответствует граничному случаю, так как она касается кривой потенциальной энергии в точке максимума. В этом случае получается фазовая траектория 3 особого рода — сепаратриса, которая пересекает ось х лишь один раз в особой точке, соответствующей максимуму кривой Эта сепаратриса отделяет область, в которой фазовые траектории имеют форму эллипса, от области, в которой фазовые траектории имеют вид кривой 4.

Движения, соответствующие фазовым траекториям вида 4, уже не будут колебательными, так как теперь изображающая точка с конечной скоростью движется слева направо; она преодолевает расположенный при пик потенциальной энергии, причем в вершине этого пика имеет минимум. После этого изображающая точка проходит потенциальную лощину, на дне которой (при ) достигается максимальная величина скорости х, и продолжает двигаться в том же направлении до тех пор, пока вся кинетическая энергия не перейдет в потенциальную. Затем начинается движение в обратном направлении по зеркальному отражению пройденного участка фазовой траектории; при этом меняется лишь знак скорости. Снова преодолев левый пик потенциальной энергии, изображающая точка удаляется в направлении отрицательных значений х.

Фазовый портрет имеет особую точку типа центра, соответствующую

минимуму кривой и — с физической точки зрения — устойчивому положению равновесия осциллятора. На некотором расстоянии от нее находится особая точка типа седла, соответствующая максимуму кривой неустойчивому положению равновесия осциллятора). Положение равновесия следует считать устойчивым, если колебания, возникшие после слабого возмущения, протекают таким образом, что осциллятор не покидает непосредственной окрестности положения равновесия. Как показывает фазовый портрет на рис. 46, это имеет место для особой точки типа центра, потому что фазовой траекторией возмущенного движения оказывается охватывающий эту точку маленький эллипс. Чем меньше возмущение, тем ближе точки эллипса к особой точке. Наоборот, для особой точки типа седла даже малейшее возмущение вызывает движение, которое выводит осциллятор из непосредственной окрестности неустойчивого положения равновесия, так как фазовые траектории в окрестности особой точки являются гиперболообразными кривыми, асимптотами которых служат ветви сепаратрисы.

Таким образом, по фазовому портрету можно непосредственно установить характер положения равновесия и тип движения. Если, кроме того, нужно знать процесс движения во времени, то следует вернуться к выведенной ранее формуле (1.20) и найти время прохождения отрезка фазовой траектории от положения до

Соответственно для периода колебаний получается

Эта формула применима, конечно, только тогда, когда фазовые траектории замкнуты, т. е. являются кривыми типа 1 и 2 (рис. 46): только в этом случае существуют оба экстремальных значения . Уравнение (2.74) можно упростить, если восстанавливающая функция является нечетной, т. е. если выполняется условие . Тогда будет четной функцией и имеет место равенство . В этом случае фазовые траектории симметричны не только относительно оси х, но и относительно оси х. Отсюда следует

Легко убедиться в том» что в линейном случае из (2.75) снова получается известное выражение для Т. Здесь и, так как имеем

Интегралы (2.73)-(2.75) не всегда приводят к уже известным и затабулированным функциям, так что зачастую их приходится находить численно или графически. Если восстанавливающая функция является полиномом до третьей степени включительно, то указанные интегралы всегда приводятся к эллиптическим. Если в этом случае начало координат выбрать так, что то

Все интегралы вида

где - любая рациональная функция, а — многочлен не выше четвертой степени, являются эллиптическими. Обратные им функции также будут эллиптическими. Интегралы (2.73) — (2.75) имеют как раз такой вид. Следует отметить, что это будет справедливо и тогда, когда восстанавливающая функция несимметрична, как это, например, может произойти в случае