2.2.2.4. Фазовый портрет.

Если в исходном уравнении (2.123) использовать прежнее обозначение и соответственно записать

то получится соотношение для направления касательной к фазовой траектории (уравнение интегральной кривой):

    (2.147)

Таким образом уравнение второго порядка (2.123) мы перевели в уравнение первого порядка, из которого легко получить уравнение изоклин. Если положить то из (2.147) следует уравнение изоклин

Рис. 71. Поле линейных элементов и фазовая траектория в случае

Согласно данному уравнению изоклины являются прямыми, проходящими через начало координат фазовой плоскости. Эти изоклины являются носителями линейных элементов (фазовых траекторий), образующих угол с осью х. Величину можно получить из уравнения (2.147). Впрочем, частный случай приводит к уже рассмотренному ранее случаю, изображенному на рис. 60, в котором все линейные элементы перпендикулярны изоклинам.

Из уравнения (2.147) непосредственно видно, что в случае все линейные элементы повернуты по часовой стрелке на постоянный угол, за исключением элементов, расположенных на оси ; последние, как и прежде, перпендикулярны оси х. Пример

поля линейных элементов при приведен на рис. 71. Фазовые траектории являются спиралями, а особая точка — особой точкой типа фокуса. Изображающая точка, представляющая движение осциллятора, движется по спирали в особую точку.

Линейные элементы, а вместе с ними и фазовые траектории становятся горизонтальными при

Это уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат фазовой плоскости.

Чем больше коэффициент демпфирования D, тем больше должен быть угол поворота (по часовой стрелке) линейных элементов на изоклинах. Если D достаточно велик, то при этом может оказаться, что линейный элемент будет направлен так же, как и несущая его изоклина. Такого рода изоклина уже не может пересекаться фазовыми траекториями, а становится асимптотой фазовых траекторий.

Рассмотрим, когда это происходит. Очевидно, что

или с учетом (2.148)

Рис. 72. Поле линейных элементов и фазовая траектория в случае

Это квадратное относительно уравнение имеет решения

    (2.149)

При не существует действительного решения и асимптоты-изоклины отсутствуют. В особом случае, когда (апериодический предельный случай), уравнение (2.149) имеет кратный корень Здесь асимптотой-изоклиной будет прямая, проходящая через второй и четвертый квадранты под углом 45°. Соответствующее поле изоклин и одна из фазовых траекторий построены на рис. 72. При существуют две асимптоты-изоклины с углами наклона (рис. 73). Фазовые траектории, показанные на этом рисунке, соответствуют кривым, построенным в координатах х, на рис. 70, и обозначены здесь теми же цифрами. Сравнивая оба рисунка, легко видеть взаимосвязь между -диаграммами и фазовым портретом.

Каждая асимптота-изоклина сама может стать фазовой траекторией. Это происходит в том случае, когда в решении (2.134) или или т. е. когда один из коэффициентов при частных решениях обращается в нуль.

Рис. 73. Фазовые траектории в случае для апериодических движений, представленных на рис. 70

При этом изоклине с углом соответствует медленнее убывающее первое частное решение, а изоклине с углом — быстрее убывающее второе частное решение.

Рис. 74. Области различных типов движения в плоскости

При изменении величины D фазовый портрет меняется не только количественно, но и качественно. Находящаяся в начале координат фазовой плоскости особая точка, являющаяся при (рис. 60) особой точкой типа центра, при становится фокусом (рис. 71) и, наконец, при — узлом (рис. 72

и 73). Фазовый портрет с особой точкой типа центра соответствует чисто периодическим недемпфированным колебаниям, с особой точкой типа фокуса — демпфированным колебаниям (периодический случай), а с особой точкой типа узла — апериодическому движению.

Чтобы выразить эти взаимосвязи через коэффициенты исходного уравнения (2.115) на рис. 74 изображены полученные из соотношения (2.124) области различных типов движения в плоскости . Отсюда снова видно, что величина коэффициента демпфирования d еще ничего не говорит о характере движения и что решающую роль играет безразмерная величина