6.3. Задачи

53. Два одинаковых гравитационных маятника, каждый из которых имеет момент инерции 0 и собственную частоту связаны пружиной жесткости с (рис. 196). Каково должно быть расстояние а, чтобы при малых колебаниях собственные частоты, отнесенные к отличались друг от друга на

54. К математическому маятнику массой и длиной L нити подвешен второй точно такой же маятник. Система может совершать плоское движение, при котором углы нитей с вертикалью остаются малыми. Найти нормальные координаты исходя из того, что в этих координатах кинетическая и потенциальная энергии представляют собой суммы квадратов.

Рис. 196. К задаче 53.

Рис. 197. К задачам 55—57.

55. Прямой стержень массой и длиной L подвешен на двух нитях, массой которых пренебрегают (рис. 197). В положении покоя нити вертикальны, а расстояние между ними равное. Точки закрепления нитей находятся на расстояниях от центра тяжести S стержня радиус инерции стержня относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести, равен . Считая, что вывести уравнения движения для связанных маятниковых и крутильных колебаний стержня. Маятниковые колебания вдоль оси стержня не учитывать.

56. Найти собственные частоты осциллятора, изображенного на рис. 197. Указать условие равенства собственных частот и определить расстояния и до центра тяжести, обеспечивающие это условие.

57. Осциллятор, изображенный на рис. 197, совершает при начальных отклонениях и нулевой начальной скорости нормальные колебания с частотами (см. задачу 56). Определить необходимые для этого значения отношения и указать характер происходящих колебаний.

58. Посередине фундамента, имеющего опоры с обеих сторон, установлена машина, которая при рабочем числе оборотов, равном 600 об/мин, из-за наличия дисбаланса возбуждает колебания амплитудой мм. Собственная частота основного колебания равна 15 Гц. Вынужденные колебания устраняются присоединением дополнительного осциллятора (гасителя). Какова амплитуда Y колебаний гасителя при его правильной настройке, если масса гасителя составляет 10% эффективной массы основного осциллятора — машины (отношение масс )?

59. Резиновый жгут длиной натянут с силой S и закреплен на обеих концах. На расстояниях L от концов жгута и соответственно друг от друга укреплены три равные массы т. Собственный вес жгута пренебрежимо мал по сравнению с натяжением 5, а вертикальные смещения масс малы по сравнению с длиной жгута L. Найти три собственные частоты.

60. Для осциллятора, описанного в задаче 59, составить матрицу отношений амплитуд и показать, что выполняются условия ортогональности (формула (6.62)).

61. Для колебательной цепи, изображенной на рис. 192, в, выписать рекуррентное соотношение, аналогичное соотношению (6.73). Определив соответствующие частотные функции, найти по ним собственные частоты для состоящей из трех масс однородной цепи с закрепленными концами ).

62. Путем сравнения рекуррентных формул (см. соотношение (6.73) и результат, полученный в задаче 61) или частотных функций вывести общее соотношение между безразмерными собственными частотами для однородной колебательной цепи, показанной на рис. 192, в, и для цепн, показанной на рис. 192, а.