5.1. Реакция линейной системы на внешние непериодические возмущения

5.1.1. Переходные функции при возмущении в виде ступенчатой функции

Рассмотрим поведение осциллятора с одной степенью свободы. Для этого мы вернемся к ранее рассмотренному уравнению (2.115) и дополним его внешней возмущающей функцией :

Здесь является ступенчатой функцией, изображенной на рис. 135 и такой, что

Из уравнения (5.2) видно, что кусочно постоянное возмущение приводит к смещению положения равновесия осциллятора:

Движение этого осциллятора представляет собой собственные колебания, которые происходят относительно скачкообразно изменившегося положения равновесия. Для исследования приведем уравнение движения (5.2) к уже использованному в гл. 2 безразмерному виду

Ограничимся тем, что будем исследовать поведение осциллятора при и, как уже упоминалось выше, получим общее решение

уравнения (5.4) как сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Частным решением является просто , а решение однородного уравнения (собственные колебания) дается формулами (2.127).

Рис. 135. Ступенчатая функция.

Следовательно, общее решение уравнения (5.4) при 0 имеет вид

Теперь предположим, что при осциллятор находился в состоянии покоя; тогда в качестве начальных условий нужно подставить

Из этих начальных условий после простых вычислений определяются постоянные (см. формулы (2.129)):

Здесь и соответственно являются величинами, которые характеризуют смещение максимума амплитуды собственных затухающих колебаний (см. формулу (2.141)). Теперь равенство (5.5) принимает вид

Это соотношение описывает переход осциллятора из первоначального положения равновесия в новое. Полученную величину которая показывает реакцию системы на единичное ступенчатое возмущение, называют переходной функцией осциллятора.

Формула (5.6) справедлива для . Не представляет никаких трудностей привести соответствующие периодические функции и для других случаев, когда Не вдаваясь в подробности, приведем здесь лишь конечные результаты:

Вид переходных функций для различных значений D показан на рис. 136.

Проведенные выше рассуждения можно распространить на осциллятор с несколькими степенями свободы. Переходную функцию, т. е. реакцию осциллятора на единичное ступенчатое возмущение, можно рассматривать как своего рода «визитную карточку» осциллятора, и эта возможность широко и весьма успешно применяется в технике регулирования.

Рис. 136. Ступенчатые переходные функции при различных значениях коэффициента демпфирования.

При этом обычно за основу принимается простая схема, изображенная на рис. 18, согласно которой осциллятор — независимо от его внутренней структуры — рассматривается как «черный ящик», в который входит некоторая входная величина (величина возмущения) и выходит выходная величина (например, амплитуда колебания). Если — ступенчатая функция, в частности единичная, то будет являться переходной функцией осциллятора. Иногда для большей точности говорят о ступенчатых переходных функциях, чтобы подчеркнуть характер входной функции и избежать путаницы с рассматриваемыми в следующем разделе импульсными переходными функциями.