2.2.3.2. Осциллятор с сухим трением.

Сухое или кулоново трение наблюдается в том случае, когда твердые тела соприкасаются и в месте соприкосновения движутся одно относительно другого. Силы трения при отсутствии смазки почти не зависят от величины скорости движения; их направление противоположно скорости относительного перемещения. Во многих случаях силу трения можно

приближенно описать следующим образом:

или

    (2.152)

Включив силу трения в условие равновесия сил, приложенных к механическому осциллятору, получим уравнение движения

    (2.153)

Так как при сила трения скачкообразно меняется, уравнение (2.153) решается отдельно в областях и соответственно Частные решения в двух областях различаются лишь знаком перед коэффициентом трения . Таким образом, достаточно получить решение для одной области, а затем учесть изменения знака в другой области. Для имеем

Умножим это уравнение на и проинтегрируем по времени:

    (2.154)

или

    (2.155)

Этот результат можно истолковать как обобщенное энергетическое соотношение с энергетической «константой» зависящей от х. Уже из уравнения (2.155) очень наглядным способом можно найти закон уменьшения амплитуды. Если построить график зависимости потенциальной энергии от х (рис. 75), то из полученной диаграммы сразу же — совершенно аналогично соотношениям для линейного осциллятора — определяется кинетическая энергия. Для этой цели нужно нанести на указанный график наклонную прямую . В области эта прямая имеет отрицательный наклон.

Точки изменения направления движения характеризуются значениями или . Соответствующие значения амплитуды получают как точки пересечения кривой с «прямой потери энергии» . Если, например, движение начинается при , то первая точка изменения направления движения получается при амплитуде и мы покидаем область Для движения в обратном направлении в уравнение (2.155) нужно подставить другое значение и противоположный знак перед . Таким образом получается прямая потери энергии с положительным наклоном, которая, конечно, должна стыковаться с прямой, соответствующей

первому полу колебанию, т. е. проходить через точку пересечения первой прямой с кривой при Другая точка пересечения второй прямой с кривой дает следующую точку изменения направления движения и соответственно амплитуду

Можно продолжить такое построение и найти последовательность точек изменения направления движения. Последовательность обрывается, когда наклон кривой становится меньше наклона прямой потери энергии.

Рис. 75. Построение точек изменения направления движения осциллятора с сухим трением.

Это легко объяснить физически: при уменьшении отклонения х восстанавливающая сила уменьшается, в то время как сила трения сохраняет постоянную величину. Начиная с определенного значения отклонения х сила трения становится больше восстанавливающей силы, и последняя уже не может вызвать смещение осциллятора из соответствующей точки изменения направления движения. Колебания заканчиваются в мертвой зоне, определяемой величиной силы трения .

Из (2.155) можно непосредственно вывести также уравнения фазовых траекторий:

Соответственно получаются выражения для периода колебания. При этом интервалы времени, за которые совершаются полуколебания, рассчитываются отдельно. Таким образом,

причем

    (2.157)

В качестве простого, но типичного примера рассмотрим случай линейной восстанавливающей силы Здесь

и энергетическое соотношение (2.155) принимает вид

или

Если описываемые этим соотношением фазовые траектории построить в фазовой плоскости, где по оси ординат откладывается не то получатся окружности, центр которых сдвинут из начала отсчета по оси абсцисс влево на величину (рис. 76).

Рис. 76. Фазовый портрет осциллятора с сухим трением и линейной восстанавливающей силой.

Этот расположенный слева центр является центром всех полуокружностей в

верхней полуплоскости. Соответствующим образом получают расположенный справа центр всех полуокружностей в нижней полуплоскости. Фазовые траектории составляются из последовательности такого рода полуокружностей, которые при пересечении оси абсцисс все время переходят одна в другую. Из фазового портрета также нетрудно видеть, что движение должно прийти к состоянию покоя через конечное число полуколебаний. При каждом полуколебании происходит уменьшение амплитуды, равное

и если колебание начинается при начальной амплитуде , то число полуколебаний можно определить как наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству

Для расчета периода колебания можно преобразовать выражение (2.157) так же, как было сделано при выводе уравнения фазового портрета (2.158); это дает

Вводя новую переменную и полагая получаем

где пределы интегрирования равны

Таким образом, время первого полу колебания не зависит от величины амплитуды и силы трения. Для второй области при получается то же самое время колебания так как изменение знака силы трения не влияет на время полуколебания. Период колебания составляет

и в точности соответствует величине периода недемпфированного колебания.

Может возникнуть вопрос: возможно ли при сопротивлении типа сухого трения апериодическое, а не колебательное движение? После всего сказанного выше легко видеть, что это невозможно, так как каждое полуколебание в данном случае

происходит точно так же, как недемпфированное, только при смещенном положении равновесия. Однако возможно, что уже после одного полуколебания осциллятор остановится в мертвой зоне около среднего положения. Для этого должно выполняться неравенство

В отличие от условий для линейного осциллятора это условие апериодичности зависит от величины начального отклонения.

В качестве второго примера приведем рассмотренный в разд. 2.1.3.5 осциллятор с постоянной по величине восстанавливающей силой, меняющей знак при прохождении положения равновесия. Если при этом имеется и сухое трение, то уравнение движения запишется так:

    (2.159)

Отсюда следует, что причем эта постоянная принимает различные значения в различных квадрантах фазовой плоскости. Полученные результаты сведены в табл. 2 (нумерация квадрантов приведена на рис. 77).

Фазовый портрет изображен на рис. 77. Он состоит из отрезков парабол, которые в квадрантах I и III проходят более круто, чем в квадрантах II и IV. Смысл начальных условий, входящих в уравнение фазового портрета (столбец табл. 2), непосредственно ясен из рисунка.

Таблица 2 (см. скан)

Построенный на рис. 77 фазовый портрет относится к случаю . При этом мертвой зоны в окрестности нулевого положения не существует, так как восстанавливающая сила всегда больше силы трения. Напротив, в случае получается фазовый портрет, где вся ось х относится к мертвой зоне. Любая фазовая траектория, подходящая к оси х, заканчивается на этой оси, так как сила трения превышает восстанавливающую силу при любом отклонении.

Рис. 77. Фазовый портрет осциллятора с сухим трением и разрывной восстанавливающей силой.