1.3. Векторное изображение колебаний и их представление в комплексной плоскости

Для изображения синусоидальных колебаний можно использовать весьма наглядное векторное изображение. При его построении используется взаимосвязь между синусоидальными колебаниями и равномерным вращением.

Эта связь устанавливается непосредственно из изображенной на рис. 5 схемы кривошипного механизма. Если кривошип вращается равномерно, то каждая точка вертикального стержня совершает синусоидальное движение, для которого выполняется равенство . Связь между равномерно вращающимся вектором

Рис. 5. Кривошипный механизм и синусоидальные колебания.

Рис. 6. Построение синусоидальных колебаний при равномерном вращении.

А, величина которого задана длиной плеча кривошипа, и временным изображением колебаний стержня определяется из геометрического построения, показанного на рис. 6. Конечная точка вектора А движется по окружности и при этом занимает последовательно положения с 1 по 9. Если спроектировать эти положения на плоскость с координатами причем по оси абсцисс, как и прежде, откладывается время, а по оси ординат — угол а, соответствующий каждому моменту времени, то получится синусоида. Слева на рис. 6 приведено векторное изображение простого синусоидального колебания.

Для расчета гармонических колебаний обычно целесообразно рассматривать плоскость векторного изображения как комплексную -плоскость с Вращающийся вектор А представляется в этом случае соотношением

    (1-8)

Если начало отсчета времени выбирается произвольно, то любое гармоническое колебание представляется либо синусоидой, либо косинусоидой. Если же по каким-либо причинам начало отсчета времени задано, то величина отклонения запишется в форме

При векторном изображении колебания величина представляет собой так называемый фазовый угол. Этот угол позволяет определить отклонение в нулевой момент времени.

Гармоническое колебание с произвольным фазовым углом можно представить в виде синусоидальной и косинусоидальной составляющих, а именно в виде

как следует из (1.9). Поскольку мы имеем

Эту взаимосвязь можнст непосредственно найти и из векторного изображения, представленного на рис. 7.

Комплексное изображение также оказывается пригодным при наличии сдвига фазы между колебаниями, так как выражение (1.9) можно записать в комплексной форме:

Если произведение рассматривать как комплексную амплитуду, то снова получится приведенное выше выражение (1.8). Таким образом, сдвиг фазы можно изобразить и при помощи комплексного

представления: в комплексной плоскости он изображается постоянным углом поворота вектора А, как показано на рис. 7.

Соотношение (1.9) можно интерпретировать как результат сложения двух сдвинутых по фазе на 90° колебаний, что следует из соотношений (1.10). Сложение двух гармонических колебаний, которые имеют одинаковые частоты производится аналитически и в самом общем случае. Используя комплексное представление, находим

Рис. 7. Разложение вектора колебания о фазовым углом .

Оба колебания имеют одинаковую частоту, но различные амплитуды А и различные фазовые углы После сложения получим

Таким образом, сложение колебаний сводится к сложению двух комплексных величин — операции непосредственного сложения на комплексной плоскости двух векторов (рис. 8). При этом можно вычислить две новые величины — амплитуду и фазовый

Итак, результат сложения двух колебаний одинаковой частоты является колебанием той же частоты, но с соответственно измененными величинами амплитуды и фазы.

Если при помощи векторного изображения требуется определить временную зависимость, заданную уравнением (1.13), то надо представить себе, что векторный треугольник, построенный на рис. 8, вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью со вокруг начала координат. При этом к постоянным фазовым углам , которые векторы образуют с действительной осью, добавляются одинаковые величины линейно возрастающего по времени угла . Проекция конечной точки вектора А на действительную ось определяет отклонение .

Несколько труднее сложения двух колебаний одинаковой частоты оказывается сложение (или вычитание) двух колебаний различной частоты. Так как в этом случае комплексное решение не дает никаких преимуществ, колебания следует представить в действительной форме:

(здесь ради простоты принято ). Уже этот частный случай позволяет определить важнейшие свойства колебаний, отказавшись от нетрудного, но весьма трудоемкого исследования общего случая. Прежде всего рассмотрим этот колебательный процесс при помощи векторного изображения (рис. 9), где каждое из слагаемых (1.15) представляется вектором, вращающимся в комплексной плоскости.

Рис. 8. Сложение векторов двух колебаний одинаковой частоты.

Рис. 9. Сложение векторов двух колебаний различной частоты.

Сложение производится таким образом, чтобы точка начала второго вектора совмещалась с конечной точкой первого. Суммарный вектор А проводится от точки начала первого вектора к конечной точке второго. Однако из-за того, что оба составляющих вектора вращаются с различными скоростями, форма векторного треугольника со временем меняется. Таким образом, векторный треугольник вращается вокруг начала координат не наподобие твердого тела, как в случае, изображенном на рис. 8, а деформируется в процессе вращения. Из-за этого векторный рисунок несколько теряет в наглядности, хотя, конечно, он позволяет без особого труда построить на комплексной плоскости траекторию конечной точки вектора А.

Несколько больше сведений о колебаниях дают в этом случае следующие преобразования: из (1.15) получаем

откуда, применяя тригонометрические соотношения, находим

или короче

где приняты следующие обозначения:

Хотя это представление значительно сложнее исходного уравнения (1.15), для некоторых особенно интересных в техническом отношении случаев оно допускает весьма наглядное толкование. Если частоты обоих составляющих колебаний мало отличаются друг от друга, т. е. если имеет место неравенство , то решение (1.17) можно рассматривать как гармоническое колебание с средней частотой сот, амплитуда А и фазовый угол которого медленно меняются во времени с частотами соответственно.

Рис. 10. Форма колебаний при сложении двух колебаний с близкими частотами.

Временная зависимость такого рода колебаний имеет вид, представленный на рис. 10, т. е. основное колебание с частотой охватывается огибающей, которая также является периодической кривой. Здесь же видно, что расстояние огибающей от среднего положения меняется в следующих пределах:

При этом величины амплитуд А следует брать всегда положительными. Колебания, происходящие с частотой называются биениями. Эти же колебания, показанные на рис. 10, можно рассматривать как амплитудно-модулированные колебания с несущей частотой (ого, которая, в силу того что , колеблется около своего среднего значения. Основные колебания модулируются по амплитуде с частотой модуляции Модулированные колебания такого рода сеставляют основу радиотехники.