2.2.3.4. Энергетический метод решения уравнений колебаний.

Метод энергетического баланса. Вполне приемлемую оценку решений уравнения колебаний

    (2.169)

можно получить в том случае, когда влияние демпфирования мало, т. е. сила демпфирования мала по сравнению с восстанавливающей силой и силой инерции, так что максимальная величина члена мала по сравнению с максимальными величинами двух других членов.

Для линейно демпфированного осциллятора было показано, что период колебания почти не зависит от силы демпфирования при ее малой величине. Это справедливо и для уравнения общего вида (2.169). Но кроме периода колебания нас интересует уменьшение амплитуды, и здесь можно воспользоваться энергетическим методом, в большинстве случаев дающим достаточно хорошее приближение.

Чтобы получить интеграл энергии для (2.169), умножим, как обычно, это уравнение на х и проинтегрируем по времени:

    (2.170)

Если ввести величину потерю энергии на преодоление сил демпфирования,

    (2.171)

то энергетическое соотношение можно привести к виду

Так как при каждом амплитудном значении и соответственно является постоянной интегрирования, при движении между двумя амплитудными значениями выполняется соотношение

Потенциальную энергию можно считать известной функцией от х, и поэтому из (2.172) при заданной величине можно найти уменьшение амплитуды Действительно, пренебрегая членами высшего порядка в разложении в ряд Тейлора, приближенно определяем

что с учетом (2.172) дает

    (2.173)

Соотношения (2.172) и (2.173) применимы только в том случае, когда известна величина AED. Однако в эту величину входит скорость колебания которая сама должна была бы быть найдена интегрированием исходного уравнения. В силу предположения, что силы демпфирования малы, не будет допущено слишком большой ошибки, если для определения потери энергии на преодоление сил демпфирования использовать значение скорости, соответствующее недемпфированному колебанию. При этом всегда можно вычислить интеграл, входящий в (2.172), и тем самым определить АЕВ. Для недемпфированных колебаний линейной системы мы имеем

    (2.174)

Эти выражения часто можно применять как хорошее приближение и для нелинейных колебаний. Ожидаемая ошибка будет оставаться малой уже вследствие того, что в этом случае выражение (2.174) для х используется только для расчета влияния демпфирования, малого по предположению.

Подставляя (2.174) в интеграл правой части (2.172), получаем

    (2.175)

или

Таким образом для любой функции можно вычислить т. е. потерю энергии на преодоление сил демпфирования за полное колебание. В качестве примера исследуем уже рассмотренный выше случай сухого трения, когда

    (2.176)

Для восстанавливающей силы примем , так что

Принимая во внимание выражение (2.176) и полагая из уравнения (2.173) получаем уменьшение амплитуды за полное колебание:

Эта величина в точности совпадает с уменьшением амплитуды, которое было получено в разд. 2.2.3.2 без каких-либо допущений.

Приближенная формула (2.175) для потери энергии на преодоление сил демпфирования, полученная здесь из интеграла энергии, похожа на формулу (2.110), которая была выведена для эквивалентного коэффициента восстанавливающей силы . Действительно, здесь также можно найти эквивалентный коэффициент демпфирования :

Чтобы определить нужно потребовать точного равенства величин потери энергии подсчитанных при помощи эквивалентного выражения и при помощи формулы (2.175). Так как при этом потеря энергии составляет

из сравнения с (2.175) следует, что

    (2.177)

Это выражение, полученное приравниванием выражений энергии (энергетический баланс), можно получить также методом гармонического баланса, использованным при выводе эквивалентного коэффициента восстанавливающей силы. В данном случае оба метода эквивалентны.

При помощи (2.177) нелинейная функция преобразуется в линейное эквивалентное выражение которое может быть подставлено в исходное уравнение (2.169). Последнее можно затем рассматривать как уравнение с линейной функцией демпфирования; при этом только нужно иметь в виду, что d является функцией амплитуды А.

Нетрудно убедитьая в том, что если в качестве функции демпфирования взять (сухое трение), то и этим приближенным методом снова можно найти полученную ранее величину уменьшения амплитуды А. Тогда из (2.177)

получаем

Если, кроме того, , то, согласно (2.124), имеем

Отношение двух последовательных амплитуд определяется по формуле (2.142):

В силу предположения о малости демпфирования так что

Поскольку снова получаем уже известную величину уменьшения амплитуды: