3.3.1.2. Движение маятника при импульсном периодическом возмущении и линейном демпфировании.

Схема, изображенная на рис. 90, для часов непригодна. Колебания часового маятника будут изохронными, если подвод энергии осуществляется в тот момент, когда маятник проходит через положение равновесия. Функция для этого случая схематически показана на рис. 92. Эта функция везде равна нулю, за исключением малого интервала в котором знак функции определяется знаком скорости. Идеальная возмущающая функция соответствует предельному случаю, когда , а интеграл

имеет конечное значение. Здесь количество энергии, подводимой к маятнику в течение импульса.

В момент подвода энергии скорость маятника скачкообразно возрастает. С другой стороны, энергия маятника, а следовательно, и его скорость уменьшаются из-за наличия сил демпфирования, которые здесь считаются линейными функциями скорости.

Поведение такого маятника можно наглядно представить при помощи фазовой плоскости (рис. 93). В областях, где энергия не подводится и движение маятника (согласно (2.127)) происходит по закону

в силу которого как в правой, так и в левой фазовой полуплоскости получаются дуги спирали. Эти дуги не образуют гладкую кривую, потому что в момент прохождения положения равновесия скорость скачкообразно возрастает.

Рис. 92. Функция при импульсивном возмущении часового маятника.

Рис. 93. Фазовая траектория часового маятника при идеальном импульсивном возмущении.

Как показано на рис. 93, при правильно выбранных начальных условиях получается замкнутая фазовая траектория, т. е. предельный цикл. В этом случае потеря скорости из-за демпфирования возмещается своевременным действием импульса.

Стационарную амплитуду можно найти из условия, что фазовая траектория должна быть замкнутой. Из (3.40) следует, что точки 1 и 2, в которых соответствуют значениям времени

Величины скорости в этих точках получаются дифференцированием (3.40) по t и подстановкой

Потеря кинетической энергии маятником в течение полуколебания составит

или

(Здесь является энергией, отнесенной к моменту инерции маятника.) Величина должна быть равна энергии получаемой за счет импульса,

Отсюда следует, что

Эта амплитуда не является стационарной амплитудой колебаний маятника, так как из-за демпфирования максимум величины (3.40) достигается не при значении а при

(см. формулу (2.141) в разд. 2.2.2.3). Подставив это значение в (3.40), получим

или

В практически интересном случае малого демпфирования выражение (3.44) можно упростить; в этом случае

так что

Таким образом определяется амплитуда стационарных колебаний маятника. Частота, а тем самым и период колебаний находятся по частоте собственного колебания; это можно видеть на рис. 93. Для прохождения каждой дуги спирали требуется время, в точности равное полу периоду собственного колебания; возрастание скорости за счет прилагаемого импульса происходит мгновенно и не увеличивает периода колебания.

Приведенные выше соображения относятся, однако, только к идеальному случаю, изображенному на рис. 93, когда импульс прикладывается точно в положении равновесия. При малейших смещениях точки приложения импульса период колебаний меняется,

а это приводит к погрешности хода часов. Чтобы найти изменение периода колебаний, рассмотрим изображенный на рис. 94 предельный цикл, который отличается от предельного цикла, показанного на рис. 93, тем, что скорость скачкообразно меняется не при а при

Рис. 94. Фазовая траектория часового маятника при возмущении запаздывающим импульсом.

Рис. 95. К расчету возмущения запаздывающим импульсом.

Если скачки скорости происходят при значениях времени соответственно, то

Разность равна половине периода колебаний маятника Это время можно найти из соотношения

Так как смещения точки приложения импульса относительно положения равновесия должны быть в общем случае малыми, достаточно получить приближенное решение, при котором смещение выражается череа смещение х следующим образом:

(см. рис. 95). Таким образом, наклон кривой принимается равным его значению в положении равновесия. Это дает

Разность этих двух значений равна половине изменения периода колебания:

или

Для относительного изменения периода колебания отсюда получается

В случае малого демпфирования это выражение также можно упростить:

Например, при получаетея относительное изменение, равное ошибка часов за сутки (86 400 с) составит 8,64 в.