§ 102. Уравнение вида ax^2+bx=0

Задача. Длина прямоугольного участка в 5 раз больше его ширины. Когда ширину участка увеличили на площадь его увеличилась в 4 раза. Найти первоначальные размеры участка.

Решение. Обозначим через х метров первоначальную ширину участка. Тогда можно составить такую таблицу:

По условию площадь расширенного участка в 4 раза больше площади первоначального. Значит, получаем уравнение:

Разделим обе части уравнения на 5 и приведём его к нормальному виду:

или

Получили неполное квадратное уравнение. Решим его. Вынеся х за скобки, получим:

Но произведение равно нулю в том, и только в том, случае, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Значит, должно быть: 1) либо либо то есть

Итак, мы получили два корня уравнения:

Подстановкой в уравнение (1) убедимся, что оба они ему удовлетворяют. Но по смыслу задачи число х, выражающее ширину участка, не может быть нулём. Значит, остаётся одно решение:

Длину участка найдём, умножив ширину на 5

Задача имеет единственное решение: длина первоначального участка была равна , а ширина

Решим теперь неполное квадратное уравнение

в общем виде. Вынеся х за скобки, получим:

И здесь, как и для уравнения (1), будем иметь два корня:

В частности, если то получим: то есть уравнение (3), или, что то же, уравнение (4) имеет лишь один корень:

Действительно, если то уравнение (3) примет вид где Очевидно, что левая часть этого уравнения будет равна нулю только при