§ 48. Два основных свойства уравнений.

Покажем на примерах, что уравнения обладают следующими двумя важными свойствами!

Свойство 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или один и тот же многочлен, содержащий неизвестное, то новое уравнение будет равносильно данному.

Примеры.

1. Пусть дано уравнение:

Решив его, найдём единственный корень:

Прибавим к обеим частям уравнения одно и то же число 15:

Решив это уравнение, найдем, что и оно имеет единственный корень:

Прибавив к обеим частям данного уравнения получим уравнения:

Решив их, опять получим для всех уравнений тот же единственный корень:

2. Пусть дано уравнение:

Решив его, найдём его единственный корень:

Прибавим к обеим частям этого уравнения одночлен получим уравнение:

Подставив в него значение убедимся, что 5 является корнем и этого уравнения. На основании свойства 1 это уравнение никаких других решений иметь не может.

В самом деле, при обе части этого уравнения равны одному и тому же числу. Если дадим х значение, большее 5, то левая часть уравнения увеличится (так как увеличится уменьшаемое), а правая уменьшится (так как увеличится вычитаемое) и, следовательно, равенство нарушится. Если же дадим х значение, меньшее 5, то, наоборот, левая часть уменьшится, а правая увеличится.

Следовательно, уравнение равносильно уравнению

3. Пусть дано уравнение:

Этому уравнению удовлетворяют любые значения неизвестного (в чём убедимся, раскрыв скобки).

Прибавив к обеим его частям числа 7, —4, получим уравнения:

Эти уравнения тоже удовлетворяются любыми значениями х. Значит, оба эти уравнения равносильны данному уравнению.

4. Возьмём уравнение:

Это уравнение не имеет решений. Прибавив к обеим частям, например, получим уравнение:

Очевидно, что и это уравнение не имеет решения, так как при любых значениях х правая часть будет на 3 больше левой.

Значит, и в этом случае получили уравнение, равносильное данному.

Свойство 2. Если обе части уравнения умножать на одно и то же не равное нулю число, то новое уравнение будет равносильно данному.

Примеры.

1. Возьмём, например, уравнение:

Оно имеет единственный корень:

Умножим обе части его на 4:

Решив это уравнение, найдём, что и оно имеет единст венный корень: Значит, оба уравнения равносильны. Умножив обе части данного уравнения на —2; на 5; на получим уравнения:

Решив их, найдём для каждого единственный корень . Значит, все они равносильны данному уравнению.

2. Возьмём уравнение:

Мы уже знаем, что этому уравнению удовлетворяют любые значения неизвестного. Умножив обе его части на 3; —2; у, получим уравнения:

Легко убедиться, раскрыв в правой части скобки, что каждому из этих уравнений удовлетворяет любое значение неизвестного. Значит, они равносильны данному уравнению.

3. Взяв, наконец, уравнение

не имеющее решений, умножим обе части его, например, на числа

Получим уравнения:

Легко видеть, что оба эти уравнения тоже не имеют решений и, следовательно, равносильны данному уравнению.

Пользуясь этими двумя свойствами, мы можем теперь все уравнения, которые решали раньше, решать, уже не ссылаясь на зависимость между данными и результатами арифметических действий.

Решим, например, уравнение:

Прибавим к обеим частям уравнения по 7. На основании первого свойства полученное уравнение

равносильно данному.

Умножим обе части этого уравнения на 8. На основании второго свойства полученное уравнение

равносильно (2), а следовательно, и данному.

Разделив обе части этого уравнения на 5 (или умножив на , получим уравнение

равносильное данному.