ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ.

§ 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными.

В главе IV мы изучали уравнения, содержащие одно неизвестное; однако уравнение может содержать не одно, а несколько неизвестных, обозначенных буквами. Сформулируем определение уравнения в общем виде.

Определение. Уравнением называется равенство, в котором одно или несколько чисел, обозначенных буквами, являются неизвестными.

Пусть, например, сказано, что сумма квадратов двух неизвестных чисел х и у равна 7; это можно записать при помощи следующего уравнения с двумя неизвестными:

Для уравнений с двумя неизвестными остаются справедливыми все те свойства, которые были установлены для уравнений с одним неизвестным (§ 48).

Уравнением первой степени с двумя неизвестными называется уравнение вида

где х и у — неизвестные, (коэффициенты при неизвестных) - данные числа, не равные оба нулю, с (свободный член) — любое данное число.

Примеры уравнений первой степени:

Уравнения:

после переноса членов, содержащих неизвестные, в левую часть, а известных чисел — в правую часть приводятся к виду (1), а потому эти уравнения также являются уравнениями первой степени.

Уравнение (1) называется нормальным видом уравнения первой степени с двумя неизвестными.

Из приведённых примеров видно (примеры 2 и 3), что рассмотренные ранее равенства, выражающие прямо пропорциональную и линейную зависимости, являются уравнениями первой степени с двумя неизвестными.

Равенство, выражающее обратно пропорциональную зависимость, например уже не является уравнением первой степени.

Рассмотрим какое-нибудь уравнение с двумя неизвестными, например:

Возьмём какую-либо пару чисел, например: Подставив эти значения в данное уравнение, получим верное равенство:

Говорят, что эта пара чисел удовлетворяет данному уравнению или что она (эта пара) есть решение данного уравнения.

Возьмём теперь такую пару чисел:

Подставив эти значения в данное уравнение, получим в его левой части При этих значениях левая часть (нуль) оказалась не равной правой части (т. е. числу 3). Говорят, что пара чисел не удовлетворяет данному уравнению или что она не есть решение уравнения.

Каждая пара значений х и у, подстановка которых в уравнение с двумя неизвестными х и у обращает его в верное равенство, называется решением этого уравнения.

Решим такую задачу.

Задача. Сумма двух чисел равна 6. Чему равно каждое слагаемое?

Обозначим через х и у искомые слагаемые.

Задача приводит к уравнению:

Дадим х какое-либо значение, например тогда для другого неизвестного у получим уравнение:

из которого найдём Пара чисел даёт решение нашей задачи.

Однако вместо мы могли бы взять какое-нибудь другое значение для х, например и тогда мы нашли бы Значит, мы получили ещё одно решение уравнения:

В таблице приведено несколько решений данного уравнения: значения х и у записаны друг под другом, а в нижней строчке показано, что сумма этих значений равна 6.

Ясно, что одному из неизвестных (например, х) можно придать любое значение и, подставив его в данное уравнение, найти соответствующее значение другого неизвестного.

Как видим, задача имеет бесконечное множество решений.

Уравнение не даёт определённого ответа на вопрос задачи. Оно лишь указывает на зависимость между двумя неизвестными. На основании этой зависимости, зная значение одного неизвестного, мы могли найти значение и другого.

Итак, уравнение первой степени, содержащее два неизвестных, имеет бесконечное множество решений.

Одному из неизвестных можно придать произвольное значение и из данного уравнения найти соответствующее значение другого неизвестного.

Мы уже видели, что в случае линейной (в частности, прямо пропорциональной) зависимости, выражающейся уравнением первой степени с двумя неизвестными, графиком является прямая линия. Докажем, что прямая линия будет графиком и любого уравнения первой степени с двумя неизвестными.

Начнём с примера.

Возьмём уравнение:

Выразив в нём неизвестное у через х, получим:

Мы видим, что это уравнение представляет собой не что иное, как линейную зависимость

Значит, графиком этого уравнения является прямая линия (черт. 31).

Черт. 31.

Какое бы уравнение первой степени, содержащее два неизвестных х и у, мы ни взяли, всегда можно выразить одно из неизвестных, например у, через другое (через и получить уравнение (равносильное данному), выражающее линейную зависимость . Например, если то

Отсюда вывод:

Графиком уравнения первой степени с двумя неизвестными является прямая линия.

Примечание. Мы рассматривали выше уравнения, содержащие два неизвестных, однако может оказаться, что коэффициент

при одном из неизвестных будет равен нулю, так что уравнение запишется в виде уравнения с одним неизвестным.

Возьмём, например, уравнение:

Приведём это уравнение к нормальному виду:

Это уравнение также имеет бесконечное множество решений; ему удовлетворяет любая пара чисел , где у — произвольное число. Обычно член не пишут и уравнение записывают так: