§ 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными.
Присоединим к уравнениям
третье уравнение:
Получили систему трёх уравнений с тремя неизвестными.
Прежде всего заметим, что все свойства, о которых говорилось в § 48, остаются справедливыми и для системы уравнений с тремя (и более) неизвестными. Поэтому для решения данной системы применимы те же способы, что и для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.
1. Способ алгебраического сложения.
Так как уравнение (3) уже не содержит х, то исключим х из системы уравнений (1) и (2). Для этого умножим обе части уравнения (2) на 15. Получим систему:
Коэффициенты при х равны. Вычтем из первого уравнения второе, тогда получим:
Получили уравнение с двумя неизвестными у и 
Вместе с уравнением (3) оно образует систему двух уравнений с двумя неизвестными:
Решив её одним из способов, изложенных в § 80, найдём:
Подставив эти значения в (1) или (2) уравнение, найдём: 
Итак, если данная система трёх уравнений с тремя неизвестными имеет решение, то это решение будет следующей тройкой чисел:
Подставляя эти значения в данную систем), можно убедиться, что полученная тройка чисел является решением системы.
2. Способ подстановки.
Для данной системы этот способ более удобен, так как в уравнении (3) неизвестное 
уже выражено через у. Сделав подстановку в уравнения (1) и (2), получим:
или
Решим эту систему любым способом, изложенным в § 80, например способом алгебраического сложения.
Умножим уравнение (5) на 15 и вычтем из него уравнение (4):
Отсюда найдём: 
Подставив найденное значение у в уравнение (5), найдём: 
Наконец, подставив значение у в (3), найдём: 
Получили то же решение, что и первым способом.
Решим ещё систему способом алгебраического сложения:
Исключим одно из неизвестных, например 
Для этого сложим первое и второе уравнения, получим:
Умножим теперь второе уравнение на 2 и сложим с третьим, получим:
Оба полученных уравнения образуют систему уравнений с двумя неизвестными:
Решив её одним из известных способов, найдём: 
Подставив эти значения в одно из данных уравнений, например в первое, найдём: 
Итак, если данная система имеет решение, то оно может быть только такое: 
Подставив эти значения во второе и третье уравнения, убедимся, что они действительно дают решение данной системы.
