§ 109. Теорема Виета.

Решим приведённое уравнение:

По формуле (В) получим:

Отсюда

Обратим внимание на следующее: если сложить найденные корни, то получим число, противоположное коэффициенту при х. Действительно: в уравнении

Если найденные корни перемножить, то получим число, равное свободному члену уравнения. Действительно, свободный член равен 12.

Возьмём ещё уравнение:

Его корни

Опять имеем:

Докажем, что корни любого приведённого уравнения обладают этим свойством.

Теорема. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

Доказательство. Пусть имеем уравнение:

Если уравнение имеет решения, то они соответственно равны (§ 104):

Отсюда получим:

Итак,

Итак,

Теорема доказана.

Эта теорема называется теоремой Виета, по имени французского математика Ф. Виета (1540— 1603).

Полное квадратное уравнение . Заменим данное уравнение равносильным ему приведённым, разделив обе его части на а:

Тогда по теореме Виета будем иметь

Если дискриминант квадратного уравнения то уравнение имеет один корень и, следовательно, теорема Виета в этом случае не применима.

Но введём следующее условие: будем считать, что уравнение и в случае, когда тоже имеет два корня, но равных.

Каждый корень равен

Эти два корня мы получим из формул:

Положив в них получим При введённом условии теорема Виета остаётся верной и в случае, когда Действительно,

Таким образом, теорема Виета верна для любого квадратного уравнения, имеющего корни.

Пример.

Имеем:

Теорема (обратная). Если сумма двух чисел равна , а их произведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения

Доказательство. Пусть дано, что

Докажем, что тогда числа a и b являются корнями уравнения.

Пользуясь равенствами (2), мы можем уравнение (1) переписать так:

Докажем, например, что а удовлетворяет этому уравнению, а следовательно, и уравнению (1).

Подставив а вместо х в уравнение (3), получим:

Левая часть оказалась равной нулю. Значит, а — корень уравнений (3) и (1).

На основании этой теоремы легко решаются следующие задачи.

Задача 1. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы данные числа.

Пусть — данные числа. На основании теоремы, обратной теореме Виета, тип являются корнями уравнения:

Пусть, например,

Тогда

Искомое уравнение:

Задача 2. Решить систему уравнений:

На основании той же теоремы заключаем, что х и у являются корнями уравнения

Решив его (если ), найдём два значения (различных или равных) Тогда, положив

получим два (или одно) решения системы.

Пример 1.

Здесь . Уравнение имеет корни: система имеет два решения;

Пример 2.

Здесь Система имеет одно решение:

Пример 3.

Здесь . Система не имеет решений.