§ 17. Умножение.

При установлении правил умножения для любых рациональных чисел положим в основу те же требования, что и для сложения рациональных чисел (см. § 12).

Возьмём опять задачу на изменение температуры.

Температура изменяется каждый час на . В настоящий момент термометр показывает 0°. Сколько градусов покажет термометр через часов?

Как и раньше, будем обозначать понижение температуры отрицательными числами.

Кроме того, в задачу входит ещё и время, в течение которого изменялась температура. Время, отсчитываемое от настоящего момента в будущее, считается положительным, а время, отсчитываемое в прошедшее, считается отрицательным.

Вернёмся к задаче. Так как каждый час температура изменялась на то через часов температура изменится на градусов.

Посмотрим, чему будет равно произведение при различных значениях а и

В настоящий момент термометр показывает 0°. В течение трёх часов температура будет повышаться каждый час на 2°. Очевидно, что за 3 часа температура повысится на 6° (черт. 10). Значит,

Температура понижается каждый час на 2°. Значит, за 3 часа она понизится на 6° (черт. 11). Таким образом,

Температура повышается каждый час на 2°. Сейчас термометр показывает 0°. Значит, 3 часа тому назад температура была ниже нуля на 6° (3 часа температура

поднималась каждый час на 2° и достигла к настоящему моменту нуля градусов) (черт. 12). Значит, 2•(-3) = -6.

Температура понижается каждый час на 2°. Сейчас 0°. Значит, 3 часа тому назад она должна была быть выше нуля на 6° (понижаясь каждый час на 2°, она за

3 часа достигнет нуля градусов) (черт. 13).

Отсюда

Черт. 10.

Черт. 11.

Сопоставим все рассмотренные случаи умножения:

Учитывая полученные результаты, введём следующее правило умножения рациональных чисел.

Правило 1. Произведение двух чисел равно произведению их абсолютных величин, взятому со знаком плюс, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки, и со знаком минус, если сомножители имеют противоположные знаки.

Таким образом, согласно введённому правилу, получим:

Кроме того, будем иметь при любом а:

(произведение абсолютных величин двух чисел, из которых хотя бы одно равно нулю, будет тоже равно нулю).

Черт. 12.

Черт. 13.

Правило 2. Произведение двух чисел равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.