§ 15. Вычитание рациональных чисел.
Вычитание определяется как действие, обратное сложению.
Вычесть из одного числа другое — значит найти такое третье число, которое, будучи сложено со вторым числом, даст первое число.
Другими словами, вычесть из какого-либо числа а число 
— значит найти такое третье число с, чтобы было справедливо равенство:
Например:
Чтобы вывести общее правило вычитания для любых рациональных чисел, поступим следующим образом. Заменим в предыдущих примерах вычитание прибавлением числа, противоположного вычитаемому. Получим:
Как видим, мы получили те же результаты, что и при вычитании. Следовательно, можно ввести правило:
Чтобы из одного числа вычесть другое, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:
Докажем это правило.
Нам надо доказать справедливость равенства
при любых 
Если выражение 
в правой части является разностью чисел 
то, сложив его с вычитаемым 
мы должны получить уменьшаемое а.
Проверим это; сложив 
и 
получим:
По сочетательному закону сложения это выражение запишем так:
Но сумма в квадратных скобках равна нулю, как сумма двух противоположных чисел.
Следовательно, будем иметь:
Получили уменьшаемое. Значит, равенство (1) верно.
Приведённое правило заменяет вычитание сложением, а правило сложения нам уже известно.
Итак, оказалось, что вычитание одного рационального числа из другого можно заменить сложением двух рациональных чисел. Но сложение двух рациональных чисел всегда возможно и даёт единственный результат (§ 12). Значит, мы можем заключить, что в множестве
рациональных чисел вычитание всегда возможно и даёт единственный результат (как говорят, однозначно).
В арифметике, где действия выполнялись лишь над положительными числами, вычитание было не всегда возможно (например, из 5 нельзя вычесть 6), а теперь, когда мы ввели отрицательные числа, вычитание в множестве рациональных чисел стало всегда возможным.
Известные из арифметики свойства вычитания остаются в силе для любых рациональных чисел. Напомним эти свойства.
1. Прибавление разности.
Чтобы прибавить разность, можно прибавить уменьшаемое и от результата отнять вычитаемое.
Например:
Значит,
В общем виде это свойство можно записать так:
2. Вычитание суммы.
Чтобы вычесть сумму нескольких чисел, можно вычесть первое слагаемое, из результата вычесть второе и так далее до конца.
Пример.
3. Вычитание разности.
Чтобы вычесть разность, можно вычесть уменьшаемое и к результату прибавить вычитаемое.
Пример.
и
В общем виде:
