§ 111. Разложение квадратного трёхчлена на множители.

1. Квадратный трёхчлен и его корни.

Многочлен второй степени относительно какой-либо буквы называется иначе квадратным трёхчленом или трёхчленом второй степени относительно этой буквы.

Общий вид квадратного трёхчлена:

где коэффициенты и с являются некоторыми определёнными числами, причём (заметим, что теперь а может быть и отрицательным), а х может принимать различные значения. В зависимости от значения х трёхчлен может принимать различные значения. Букву х будем называть главной буквой или аргументом.

Пример. Обозначим через у трёхчлен.

Будем давать х произвольные значения. Соответствующие значения трёхчлена или, что то же самое, значения у, даны в следующей таблице:

Из этой таблицы видим, что при и при значение трёхчлена становится равным нулю.

Определение. Те значения аргумента, при которых значение трёхчлена равно нулю, называются корнями этого трёхчлена.

Так, 1 и 2 являются корнями трёхчлена (2).

Чтобы найти корни трёхчлена (1), надо вычислить те значения х, при которых он обращается в нуль, то есть те значения х, при которых

Значит, корни трёхчлена (1) мы найдём, решив уравнение (3). Но мы знаем, что это уравнение в зависимости от величины его дискриминанта № может иметь два (различных или равных) корня либо не иметь корней.

Значит, то же можно сказать и о трёхчлене (1). Он а) имеет два корня (различных или равных), если не имеет корней, если

Дискриминант уравнения (3) называется также дискриминантом и трёхчлена (1).

2. Разложение на множители трёхчлена вида

Допустим, что трёхчлен

имеет два корня: . Тогда числа и являются корнями уравнения

Но по теореме Виета будем иметь:

Значит,

Подставим значения в данный трёхчлен и преобразуем полученное выражение:

Итак, мы получили:

Таким образом, если трёхчлен вида имеет корни, то он может быть представлен в виде произведения двух сомножителей: один из них является разностью между аргументом и одним корнем, другой — разностью между аргументом и другим корнем.

Пример.

Решив уравнение

найдём корни трёхчлена: . Тогда

3. Разложение трёхчлена Возьмём теперь трёхчлен (1)

где Пусть корни уравнения (3)

будут

Вынеся в данном трёхчлене а за скобки, мы получим:

Но так как — корни уравнения (3), или, что то же, уравнения (приведённого) то по предыдущему:

Подстановка в (4) даёт:

Трёхчлен , имеющий корни, можно пред ставить в виде произведения трёх сомножителей: один равен коэффициенту при , а два других — разности между аргументом и корнями трёхчлена:

Пример 1.

Уравнение

имеет два корня:

Тогда

Полученное произведение можно представить в более удобном виде: перемножив сомножители 3 и получим:

Пример 2.

Уравнение

или, что то же, имеет корни:

Тогда

или