§ 90. Вычисление квадратов чисел по таблицам и при помощи счётной линейки.

Вычисление квадратов чисел по таблицам. Для практических вычислений составляются специальные таблицы, в которых приводятся квадраты чисел.

В учебном пособии В. М. Брадиса «Четырёхзначные математические таблицы» имеется таблица квадратов чисел, состоящих не более чем из четырёх цифр.

Квадраты чисел, состоящих из одной или двух цифр, находятся легко. В первом столбце таблицы размещены числа от 1 до 10 с промежутками в 0,1. Рядом с каждым из этих чисел во втором столбце помещён его квадрат, например:

Если в первых двух столбцах таблицы не будем обращать внимания на запятые, то получим таблицу квадратов целых чисел от 10 до 100, например:

В самом деле, число 43 в 10 раз больше числа 4,3, то есть Отсюда найдём, что 43а в 100 раз больше, чем 4,32:

Увеличив число в 100 раз, мы и получим 1849.

Эти же два столбца могут служить для нахождения квадратов любых чисел, состоящих из двух цифр с нулями перед ними или после них.

Для этого надо запомнить правило:

Если в числе перенести запятую вправо или влево на несколько цифр, то в квадрате этого числа надо перенести запятую в ту же сторону на удвоенное количество цифр.

Возьмём, например, число 0,078. Оно в 100 раз меньше числа 7,8:

Значит, число надо уменьшить в 10000 раз: то есть надо перенести запятую на 4 знака влево.

Таблица квадратов в книге В. М. Брадиса, кроме двух столбцов, рассмотренных выше, содержит ещё столбцы, помеченные вверху и внизу номерами от 1 до 9. Эти столбцы служат для нахождения квадратов чисел от

1 до 10, состоящих из трёх цифр, то есть содержащих, кроме десятых долей, ещё и сотые.

Покажем на примере, как находить квадраты таких чисел.

Пусть требуется найти квадрат числа 7,24. В первом столбце находим число 7,2 (первые две цифры данного числа). В той же строке в столбце под номером 4 (третья цифра данного числа) находим число 52,42 — квадрат числа 7,24.

Но если мы будем находить квадрат числа 7,24 умножением, то получим:

а не 52,42. Значит, в таблице дано лишь приближённое значение квадрата числа 7,24.

Число 52,4176 округлено до четырёх цифр. При этом последняя оставленная цифра увеличена на единицу, так как отброшенная часть составляет больше половины единицы последнего оставленного разряда, то есть больше

0,005 (число 52,42 ближе к 52,4176, чем число 52,41).

Таким же образом находим в таблице:

Для нахождения квадратов чисел, имеющих четыре цифры, в таблицах В. М. Брадиса справа помещены ещё 9 занумерованных столбцов-«поправок».

Пусть требуется найти квадрат числа 7,824. Находим по предыдущему квадрат числа 7,82. Он равен 61,15. Затем в той же строке в столбце «поправок» за номером 4 (последняя цифра заданного числа) находим число 6, которое и прибавляем к последней цифре числа 61,15.

Получаем:

Ещё пример: найти

Найдём сначала 4,732. По таблице находим: . В столбце «поправок» за номером 3 находим число 3, которое прибавляем к последней цифре числа 22,37. Получим: 4, 733 22,40. Значит, по правилу, приведённому на странице 188, будем иметь:

На практике обычно действия производят над приближёнными числами, руководствуясь правилами приближённых вычислений. Если, например, числовые данные получены измерением с двумя значащими цифрами, то и числа, взятые из таблиц, надо округлить до двух значащих цифр; третья цифра оставляется в качестве запасной, если с числами, взятыми из таблицы, производятся дальнейшие вычисления.

Пример 1. Сторона квадрата равна (приближённо) Вычислить его площадь

Решение. Из таблиц В. М. Брадиса найдём: Так как сторона 4,3 дана с двумя значащими цифрами, то и число, взятое из таблицы, следует округлить, оставив в нём две значащие цифры. Итак,

Пример 2. Радиус круга равен (приближённо) . Найти площадь круга.

Решение. Как известно, площадь круга выражается формулой , где — радиус круга, Теперь берём Здесь значение взято из таблицы с округлением до трёх значащих цифр. Третья цифра взята как запасная, потому что над производятся дальнейшие вычисления. В окончательном результате надо сохранить две значащие цифры.

Полезно запомнить очень лёгкий способ приближённого возведения в квадрат чисел, близких к единице.

Обозначим число, немного большее единицы, через 1 а. Тогда

Но - очень малое число, которое мы можем отбросить. Получим легко запоминаемую формулу:

Примеры.

Мы видим, что, округлив до трёх цифр точные квадраты, получим как раз те же числа, которые получили устно по формуле.

Пользуясь этой же формулой, мы можем устно вычислить:

Здесь мы применили правило о переносе запятой, приведённое в начале этого параграфа (стр. 188).

Можно вычислять в уме квадраты чисел, немного меньших единицы.

Обозначим точное число через 1 — а:

Отбрасывая малое число получим:

Примеры.

Возведение чисел в квадрат на счётной линейке. Очень легко на линейке находить приближённое значение квадрата любого числа. Для этого на корпусе линейки имеется шкала квадратов А (черт. 52). Эта шкала состоит из двух частей, каждая из которых представляет собой основную шкалу но уменьшенную вдвое.

Если поставить визирную черту на любое число основной шкалы то на шкале квадратов А прочтём квадрат этого числа.

На чертеже 39 читаем: .

Ниже приведено несколько примеров возведения чисел в квадрат и для сравнения даны квадраты этих же чисел, вычисленные по четырёхзначным таблицам.

Так же как при умножении и делении на линейке, место запятой результата возведения в квадрат определяем грубой прикидкой. Читая 6,32 как три — девять — семь, выясняем, что это не может быть ни 3,97, ни 397; значит,

С большой скоростью и простотой вычисляются на линейке комбинации из нескольких действий. Найдём значение

Черт. 52.

Ставим визир против 2,38 на основной шкале Тогда на шкале квадратов А визир покажет число 2,382. Не читая этого числа и не трогая бегунка, переставим движок так, чтобы его начало 1 совпало с визирной чертой.

Черт. 53.

Теперь передвинем бегунок и против 4,53 на шкале В читаем на шкале А окончательный ответ 25,7. Для нахождения результата понадобилось только одно перемещение движка (черт. 53). Так же экономно вычислим площадь круга, если радиус его см.

Черт. 54.

По формуле найдём: (Число на линейке имеет специальную метку) (черт. 54).