§ 120. Трехчлен второй степени.
Общий вид трёхчлена второй степени, как мы знаем,
где
— любые числа
. Давая х любые значения, будем получать соответствующие значения трёхчлена.
Значит, трёхчлен является функцией аргумента х. Обозначим эту функцию через у:
Те значения аргумента, которые обращают его в нуль, называются корнями трёхчлена. Чтобы найти эти корни, достаточно решить уравнение:
Пример 1.
Приведём таблицу значений этого трёхчлена при некоторых значениях х.
Корнями трёхчлена являются числа — 1 и 5. Эти числа мы могли найти, решив уравнение:
Рассматривая таблицу, замечаем, что при увеличении значений х значения у сначала убывают, затем возрастают. Докажем, что при
значение трёхчлена
является наименьшим. Для этого представим трёхчлен в таком виде:
Раскрыв скобки, убедимся, что это выражение тождественно с (3).
Отсюда видим, что при любом значении х, кроме
значение у будет больше
так как к
прибавляется положительное число.
Значит, при
трёхчлен принимает наименьшее значение, равное
Пример 2.
Составим таблицу:
Таблица показывает, что при увеличении значений х значения трёхчлена сначала увеличиваются, затем уменьшаются. Докажем, что при
трёхчлен имеет наибольшее значение. Запишем трёхчлен в таком виде:
Отсюда видим, что при любом значении х, кроме
значение у будет меньше 9, и только при
оно будет равно 9, то есть будет наибольшим.
Построим теперь график трёхчлена (1), начав с некоторых частных случаев.