§ 51. Общие указания к решению уравнений.
Во многих случаях решение уравнения сводится к тому, что мы данное уравнение заменяем другим, ему равносильным, но более простым, это другое заменяем третьим и так продолжаем до тех пор, пока не получим самое простое уравнение вида 
, которое прямо указывает, что неизвестное должно быть равно числу а. Следовательно, 
должно быть корнем и всех предыдущих равносильных ему уравнений, в том числе и данного.
Возьмём несколько уравнений и проследим, какие преобразования приходится над ними производить, чтобы прийти к простейшему уравнению.
Решим уравнение:
1) Сделаем коэффициенты всех членов целыми числами. Для этого умножим каждый член уравнения на 12. Произведя сокращения, получим:
2) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестное, и свободные члены, раскроем скобки:
3) Сгруппируем теперь в одной части члены, содержащие неизвестное, в другой — свободные члены.
4) Упростим уравнение, приведя подобные члены:
5) Разделим обе его части на 22. Получим:
Корнем этого уравнения, а следовательно, и всех предыдущих является 7.
Предлагаем учащимся проверить корень, подставив в каждое из полученных уравнений 
и убедиться, что 7 является корнем всех этих уравнений.
Из рассмотренного примера видно, что к решению уравнения первой степени можно дать такие указания:
1. Привести уравнение к уравнению с целыми коэффициентами.
2. Раскрыть скобки.
3. Сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены — в другой.
4. Привести подобные члены.
5. Если коэффициент при неизвестном не нуль, то разделить на него обе части уравнения.
Но эти указания ни в коей мере не будут являться обязательными для всякого уравнения.
Во-первых, при решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго, третьего и даже сразу с пятого этапа.
Во-вторых, при решении некоторые промежуточные этапы могут оказаться ненужными.
Пример.
Умножив обе части уравнения на 12, получим уравнение с целыми коэффициентами:
и сразу переходим к третьему этапу:
Откуда 
Раскрывать скобки здесь не пришлось.
В-третьих (и это главное), иногда бывает выгоднее нарушить указанный порядок, если уравнение решается проще и короче.
Примеры.
Здесь следует, не раскрывая скобок, сначала разделить обе части на 7:
Уравнение решается в два действия.
Решение по схеме потребовало бы четырёх действий (два умножения, сложение и деление).
Здесь выгоднее сразу начать с третьего этапа, так как видно, что после приведения подобных членов коэффициент при х будет целым.
Ещё лучше одновременно выполнить третий и четвёртый этапы, то есть вычесть в уме у из у и 3 из 87, и сразу записать:
