ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ.

§ 46. Общие сведения.

Из предыдущего мы знаем, что равенства, содержащие буквы, могут быть двух родов: тождества и уравнения.

Тождество (см. § 29) - это такое равенство, которое верно при любых (допустимых) значениях входящих в него букв. Так, например, формулы сокращённого умножения:

и т. д. — это тождества. В § 41 мы установили, пользуясь основными законами арифметических действий, что всегда, какими бы ни были числа а и левая часть для каждого из этих равенств равна правой.

Равенство также есть тождество, так как при всяком допустимом значении а (а именно при ) левая его часть равна правой.

В § 24 и 45 мы встречались с другого рода равенствами, содержащими буквы, а именно с уравнениями. Рассмотренные нами в этих параграфах равенства содержали обозначенные буквами неизвестные числа, и нам требовалось решить уравнение, то есть выяснить, существуют ли такие значения неизвестного, при которых равенство будет верным, и найти эти значения неизвестного.

Пусть, например, даны два алгебраических выражения:

Числовое значение каждого из этих выражений зависит от значения буквы х, как это видно из следующей таблицы, где в первой строке даны различные значения х, а во второй и третьей — соответствующие значения данных алгебраических выражений.

Поставим такой вопрос: найдутся ли такие значения х, при которых оба данных выражения будут иметь одно и то же значение?

Другими словами, при каких значениях х будет справедливо равенство:

Если продолжить эту таблицу, то окажется, что при данные выражения имеют одно и то же значение 23. Однако из наших рассуждений не видно, существуют ли еще какие-нибудь значения х, при которых левая часть равенства (1) равна правой. Чтобы получить полный ответ, надо изучить свойства уравнений.

В настоящей главе мы изучим основные свойства уравнений и укажем способы их решения в простейших случаях.

Заметим, что уравнение, кроме букв, обозначающих неизвестные числа, может содержать и другие буквы, которые будут означать некоторые известные, определённые числа.

Приведём еще примеры уравнений с одним неизвестным.

Во всех этих уравнениях х является неизвестным числом, а там, где имеются другие буквы (во втором и шестом уравнениях), мы считаем их известными.

Выражения, стоящие слева и справа от знака равенства, называются левой и правой частями уравнения.

1. Корни уравнения.

Пусть дано уравнение:

Подставив в него вместо х число 4, получим:

Обе части уравнения оказались равными одному и тому же числу. Получили верное равенство. Наоборот, если подставим вместо х любое другое число, например

5, то будем иметь:

Левая часть оказалась равной 8, а правая — 1.

Мы не получили равенства. Задача решения уравнения и состоит в том, чтобы определить, имеются ли такие значения неизвестного, при которых обе части уравнения равны одному и тому же числу (см. § 24), и найти эти значения.

Итак,

Решить уравнение с одним неизвестным — значит найти все те значения неизвестного, при которых уравнение обращается в верное равенство.

Все такие значения неизвестного называются его корнями или решениями.

Так, в предыдущем примере является корнем, или решением, уравнения

Наоборот, например, значение не является корнем этого уравнения.

2. Число корней уравнения.

Уравнение может иметь единственный корень.

Например, уравнение

имеет единственный корень:

Действительно, подставив в уравнение 4 вместо х, получим

верное равенство. Подставив же в уравнение вместо х любое число, меньшее 4, получим в сумме с 3 число, меньшее 7, а подставив число, большее 4, получим в сумме с 3 число, большее 7. Значит, число 4 является единственным, которое в сумме с 3 даёт 7, то есть обращает данное уравнение в верное равенство.

Уравнение может иметь несколько корней.

Так, уравнение

имеет три корня:

Действительно, при обратится в нуль первый множитель в левой части, при — второй множитель, при третий. А если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то и всё произведение равно нулю.

Если же мы подставим в уравнение вместо х любое другое число, то ни один из сомножителей в левой части не обратится в нуль. Следовательно, не будет равно нулю и их произведение.

Уравнение может совсем не иметь корней.

Возьмём, например, уравнение:

Какое бы значение мы ни давали букве х, левая часть этого уравнения всегда будет на 4 больше правой. Значит, нет таких значений х, которые обращали бы это уравнение в верное равенство. Уравнение не имеет корней.

Уравнение может иметь бесконечное множество корней.

Пусть дано уравнение:

Подставляя вместо х любое число, убедимся, что левая и правая части уравнения будут равны. Значит, любое число является корнем этого уравнения. Покажем это.

Раскрыв скобки, получим;

или

В обеих частях оказалось одно и то же выражение. Итак, данное уравнение оказалось равенством, справедливым при любых значениях буквы х.

Говорят, что данное уравнение удовлетворяется тождественно.