§ 105. Квадратное уравнение общего вида.

Решим уравнение:

Разделив все его члены на 4, получим;

Но это уравнение — приведённое, и решать его мы уже умеем.

Применим формулу (А) предыдущего параграфа;

Произведём вычисления:

Итак, имеем:

Отсюда

Таким же путём решим теперь квадратное уравнение в общем виде:

Разделим обе части этого уравнения на а (мы знаем, что ). Получим приведённое уравнение, равносильное данному:

Вычислим подкоренное выражение в формуле (А) корней приведённого квадратного уравнения (2):

Если это выражение неотрицательно, то, применив формулу (А), получим корни уравнения (1):

Заметив, что получим окончательно следующую общую формулу корней квадратного уравнения:

Если выражение (3) отрицательно, то уравнение не имеет корней.

Словами формулу (В) можно выразить так:

Корни квадратного уравнения равны дроби, знаменатель которой равен удвоенному первому коэффициенту, а числитель — второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из квадрата этого коэффициента без учетверённого произведения первого коэффициента и свободного члена.

Примеры.

Здесь Применяя формулу (В), получим:

Здесь По формуле (В) получим:

Формула (В) применима и в том случае, когда один из коэффициентов или с равен нулю.

Здесь По формуле (В) получим:

Здесь .

Формула (В) даёт:

Если то уравнение (1) запишется так:

и формула (В) примет вид:

Следовательно,

Этой формулой удобно пользоваться, если — чётное число.

Пример.

Так как коэффициент при х — чётное число, то применяем формулу (С):

Решим дробное уравнение:

Умножим обе части уравнения на Получим:

Получили квадратное уравнение. Так как , то оно имеет два корня. Решив его по формуле найдём:

Теперь проверим корни, так как возможно появление посторонних корней (см. § 70).

Для данного уравнения значение не является допустимым, а поэтому уравнение имеет единственный корень