§ 98. Простейшие преобразования.

1. Вынесение множителей за знак квадратного корня.

Пусть дано выражение . Мы можем этот корень представить в более простом виде, применив к нему теорему об извлечении корня из произведения (§ 97):

Точно так же

Такое преобразование называется вынесением множителя за знак корня.

В результате применения этого преобразования данное выражение упрощается и часто сокращаются требуемые вычисления. В этом можно убедиться на следующих примерах.

Пр и мер 1. Вычислить с точностью до 0,01 выражение

Вычислим каждый из корней с точностью до 0,01:

Нам пришлось извлечь квадратный корень из трёх чисел, и притом мы не можем быть уверены, что результат действительно даст величину выражения с точностью до 0,01 (для уверенности в этом нужно было бы вычислить корни с точностью большей, чем заданная).

Попробуем упростить данное выражение, вынося за знак радикала те множители, которые возможно:

Итак, после преобразования нам придётся извлечь квадратный корень только из одного числа.

Вычислив его с точностью до 0,01, найдём:

Теперь видно, что в первом вычислении мы сделали ошибку на одну сотую, то есть получили результат не с заданной точностью.

Пример 2. Вычислить выражение

Подставив в данное выражение получим:

Нам придётся извлечь корень из шестизначного числа.

Мы значительно упростим вычисления, если предварительно вынесем за знак корня те множители, которые возможно. Будем иметь:

Подставив теперь легко найдём:

Во всех предыдущих примерах подкоренное выражение мы разлагали на множители, выделяя такие, показатель которых делится на два, и извлекали из них корень. В дальнейшем надо приобрести навык сразу выносить нужные множители за знак корня, не прибегая к предварительному разложению на множители подкоренного выражения.

Пример 3.

Как видно из примеров, для вынесения множителей из-под знака квадратного корня достаточно показатель каждого множителя разделить на два и записать перед знаком корня этот множитель с показателем, равным полученному частному, а под знаком корня тот же множитель с показателем, равным полученному остатку.

В предыдущем примере .

2. Внесение множителей под знак квадратного корня.

Иногда бывает полезно, наоборот, подвести под знак корня множители, стоящие перед ним.

Пусть, например, требуется вычислить с точностью до 0,001 выражение Вычислив с точностью до 0,001 и умножив результат на 20, получим:

Заранее можем сказать, что результат не соответствует заданной точности, так как, умножив приближённое число 2,646 на 20, мы увеличили в 20 раз и ошибку.

Чтобы получить ббльшую точность, возьмём с точностью до 0,0001. Получим:

Но мы не можем и теперь быть уверены, что достигли требуемой точности.

Произведём вычисление другим способом. Представим данное выражение в таком виде:

Вычислив с точностью до 0,001, получим:

Такоза действительная величина данного выражения, вычисленная с точностью до 0,001.

Рассмотренное преобразование называется внесением множителя под знак корня.

Приведённый пример показывает целесообразность в некоторых случаях такого преобразования.

Чтобы внести под знсис квадратного корня стоящие перед ним множители, достаточно возвести эти множители в квадрат и подкоренное выражение умножить на полученный результат.

Примеры.

В двух первых примерах сначала множитель, стоящий перед знаком корня, был подведён под знак корня, затем произведено умножение.

В третьем примере обе эти операции были выполнены сразу.

3. Приведение подкоренного выражения к целому виду.

Если подкоренное выражение дробное, то часто бывает целесообразно привести его к целому виду, или, как говорят, освободить подкоренное выражение от знаменателя.

Покажем на примерах, как это делается.

Пр имер 1.

Чтобы из знаменателя подкоренного выражения можно было извлечь корень, умножим числитель и знаменатель этого выражения на а. Получим:

Пример 2.

Умножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на , извлечём квадратный корень из знаменателя. По сокращении получим:

Значит, чтобы привести подкоренное выражение к целому виду, достаточно его числитель и знаменатель умножить на такое выражение, чтобы показатели всех сомножителей в знаменателе делились на два; после этого извлечь корень из знаменателя.

Примечание. Во всех предыдущих примерах буквы обозначали неотрицательные числа; если это условие не выполнено, то надо поступать так, как пояснено на следующих иримерах.

Пример 1.

вынести а за знак корня.

Мы знаем, что при

поэтому

При любом а верно такое равенство:

Пример 2. Внести множитель х под знак корня

Если х — отрицательное число, то , где — положительное число; значит,

Так, в частности,