Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 98. Простейшие преобразования.1. Вынесение множителей за знак квадратного корня.Пусть дано выражение
Точно так же
Такое преобразование называется вынесением множителя за знак корня. В результате применения этого преобразования данное выражение упрощается и часто сокращаются требуемые вычисления. В этом можно убедиться на следующих примерах. Пр и мер 1. Вычислить с точностью до 0,01 выражение Вычислим каждый из корней с точностью до 0,01:
Нам пришлось извлечь квадратный корень из трёх чисел, и притом мы не можем быть уверены, что результат действительно даст величину выражения Попробуем упростить данное выражение, вынося за знак радикала те множители, которые возможно:
Итак, после преобразования нам придётся извлечь квадратный корень только из одного числа. Вычислив его с точностью до 0,01, найдём:
Теперь видно, что в первом вычислении мы сделали ошибку на одну сотую, то есть получили результат не с заданной точностью. Пример 2. Вычислить выражение Подставив в данное выражение
Нам придётся извлечь корень из шестизначного числа. Мы значительно упростим вычисления, если предварительно вынесем за знак корня те множители, которые возможно. Будем иметь:
Подставив теперь
Во всех предыдущих примерах подкоренное выражение мы разлагали на множители, выделяя такие, показатель которых делится на два, и извлекали из них корень. В дальнейшем надо приобрести навык сразу выносить нужные множители за знак корня, не прибегая к предварительному разложению на множители подкоренного выражения. Пример 3.
Как видно из примеров, для вынесения множителей из-под знака квадратного корня достаточно показатель каждого множителя разделить на два и записать перед знаком корня этот множитель с показателем, равным полученному частному, а под знаком корня тот же множитель с показателем, равным полученному остатку. В предыдущем примере 2. Внесение множителей под знак квадратного корня.Иногда бывает полезно, наоборот, подвести под знак корня множители, стоящие перед ним. Пусть, например, требуется вычислить с точностью до 0,001 выражение
Заранее можем сказать, что результат не соответствует заданной точности, так как, умножив приближённое число 2,646 на 20, мы увеличили в 20 раз и ошибку. Чтобы получить ббльшую точность, возьмём
Но мы не можем и теперь быть уверены, что достигли требуемой точности. Произведём вычисление другим способом. Представим данное выражение в таком виде:
Вычислив
Такоза действительная величина данного выражения, вычисленная с точностью до 0,001. Рассмотренное преобразование называется внесением множителя под знак корня. Приведённый пример показывает целесообразность в некоторых случаях такого преобразования. Чтобы внести под знсис квадратного корня стоящие перед ним множители, достаточно возвести эти множители в квадрат и подкоренное выражение умножить на полученный результат. Примеры.
В двух первых примерах сначала множитель, стоящий перед знаком корня, был подведён под знак корня, затем произведено умножение. В третьем примере обе эти операции были выполнены сразу. 3. Приведение подкоренного выражения к целому виду.Если подкоренное выражение дробное, то часто бывает целесообразно привести его к целому виду, или, как говорят, освободить подкоренное выражение от знаменателя. Покажем на примерах, как это делается. Пр имер 1.
Чтобы из знаменателя подкоренного выражения можно было извлечь корень, умножим числитель и знаменатель этого выражения на а. Получим:
Пример 2.
Умножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на
Значит, чтобы привести подкоренное выражение к целому виду, достаточно его числитель и знаменатель умножить на такое выражение, чтобы показатели всех сомножителей в знаменателе делились на два; после этого извлечь корень из знаменателя. Примечание. Во всех предыдущих примерах буквы обозначали неотрицательные числа; если это условие не выполнено, то надо поступать так, как пояснено на следующих иримерах. Пример 1.
вынести а за знак корня. Мы знаем, что при
поэтому
При любом а верно такое равенство:
Пример 2. Внести множитель х под знак корня
Если х — отрицательное число, то Так, в частности,
|
1 |
Оглавление
|