§ 19. Законы умножения.

Для рациональных чисел остаются справедливыми те же законы умножения, которые были приведены в § 5 для положительных чисел.

1. Переместительный закон.

Для любых рациональных чисел а и справедливо равенство:

Это следует из определения умножения рациональных чисел. В самом деле, мы берём произведение абсолютных величин сомножителей, а оно не зависит от порядка, в котором берём эти абсолютные величины.

Знак произведения тоже определяем независимо от того, в каком порядке следовали сомножители. Мы смотрим только, одинаковые ли знаки у обоих сомножителей или различные.

Переместительный закон справедлив для произведения любого числа сомножителей. Так, например, перемножая числа в любом порядке, мы получим одно и то же число 240. В самом деле, в каком бы порядке мы ни перемножали абсолютные величины сомножителей, получим одно и то же число Знак произведения получим, подсчитав количество отрицательных сомножителей независимо от порядка, в каком они расположены. В нашем примере число 240 следует взять со знаком так как в произведении содержится два отрицательных сомножителя.

2. Сочетательный закон.

При умножении любых рациональных чисел остаётся в силе сочетательный закон умножения.

Для любых трёх рациональных чисел и с справедливо равенство:

В самом деле, в выражении мы должны абсолютную величину а умножить на произведение абсолютных величин и с, в выражении мы должны произведение абсолютных величин умножить на абсолютную величину с. Но абсолютные величины — это неотрицательные числа (то есть положительные или равные нулю), а для таких чисел сочетательный закон верен.

Значит, абсолютная величина обеих частей равенства одна и та же. Легко также убедиться, что и знак обоих произведений будет один и тот же, каковы бы ни были знаки чисел а, b, и с (оба произведения положительны, если среди чисел а, b и с нет отрицательных или два из них отрицательны; оба произведения отрицательны, если

одно из этих чисел или все три отрицательны; оба произведения равны нулю, если хотя бы одно из чисел или с равно нулю).

Таким же образом можно убедиться в справедливости сочетательного закона для произведения любого числа сомножителей.

Пример.

Это произведение нетрудно вычислить, перемножив сначала второй и третий сомножители:

3. Распределительный закон.

Для любых рациональных чисел справедливо равенство:

Убедимся в этом на примерах.

Действительно,

Действительно,

Распределительный закон имеет место при умножении на какой-либо множитель суммы любого числа слагаемых.

Именно:

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Пример.

и

Пользуясь переместительным законом умножения, в последнем примере можно переставить сомножители, тогда получим следующее:

и

Отсюда вывод:

Чтобы умножить какое-либо число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Отметим следующие два свойства умножения:

1. Умножение произведения.

Чтобы умножить произведение нескольких чисел на число, можно умножить на это число один из сомножителей, оставив остальные без изменения.

Пример.

и

2. Умножение на произведение.

Чтобы умножить число на произведение нескольких чисел, можно умножить это число на первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и так далее до конца.

Пример.

и

Эти последние свойства вытекают из законов умножения.