§ 36. Умножение одночленов.

1. Умножение степеней одного и того же основания.

Вычислим выражение 23-22:

Итак,

Действительно,

Точно так же

Мы видим, что показатель в произведении каждый раз равен сумме показателей в сомножителях (в частности, вспомним, что . Это и понятно: ведь каждый раз основание степени приходится брать сомножителем столько раз, каков показатель в первом сомножителе, и ещё столько раз, каков показатель во втором сомножителе.

Следовательно, в произведении равный сомножитель будет повторяться столько раз, сколько единиц содержит сумма показателей сомножителей.

Если буквами тип обозначить любые целые положительные (натуральные) числа, то это можно записать так:

Отсюда можно вывести такое правило:

Правило. При умножении степеней одного и того же числа показатели степеней складываются, а основание остаётся прежним.

Правило остаётся то же, если перемножаются не два, а три и более сомножителей, например:

В общем виде:

2. Умножение одночленов.

Пусть требуется перемножить одночлены:

По правилу умножения на произведение имеем:

Воспользовавшись переместительным и сочетательным законами, можем это произведение записать

Произведя умножение в каждой скобке, получим окончательно:

Итак,

(Проверить подстановкой:

Если надо перемножить более двух одночленов, то поступаем таким же образом, например:

Отсюда видно, что произведение одночленов есть одночлен, который составляется по следующему правилу:

При перемножении одночленов их коэффициенты перемножаются, показатели степеней одинаковых букв, содержащихся в обоих сомножителях, складываются, а буквы, входящие только в один сомножитель, берутся в произведении с их показателями.

Пример.