§ 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.)

Ещё в глубокой древности в математических сочинениях встречались уравнения, а также задачи, решаемые с помощью уравнений.

Так, в египетском папирусе около 2000 лет до нашей эры (причём, как указывает в нём автор, писец Ахмес, это математическое сочинение является копией с другого, более древнего сочинения) имелись задачи на отыскание неизвестного числа. Это неизвестное называлось (куча) и обозначалось особым иероглифом.

Вот примеры задач из этого папируса.

1) «Неизвестное, его седьмая часть, его целое составляет 19».

В современном виде задача запишется так:

2) сложено и отнята; остаток 10».

Судя по приведённому в папирусе решению, задачу следует понимать так: к неизвестному прибавлено его и отнята полученной суммы; остаток 10; найти число.

Задача в современном виде запишется так:

Ответ:

У Диофанта (III век, см. § 27) также встречаются уравнения с одним неизвестным, например:

«Числа 20 и 100. Нужно одно и то же число прибавить к меньшему и вычесть из большего; отношение суммы к разности равно 4».

Задача приводит к уравнению:

В индийской рукописной арифметике VII или VIII века нашей эры, являющейся копией с более древней рукописи (III—IV века), имеется такая задача:

«Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий втрое больше второго, четвёртый вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132.

Сколько дал первый?»

Получаем уравнение:

В рукописи задача решается способом «ложного положения». (Этим способом пользовался и Л. Ф. Магницкий в своей «Арифметике».)

«Если бы первый дал 1, то второй дал бы 2, третий 6, четвёртый 24, а все вместе 33. Но всего было 132, то есть вчетверо больше. Значит, и каждый из жертвователей дал вчетверо больше».

Ответ: 4; 8; 24; 96.

Но общее правило для решения уравнений первой степени с одним неизвестным дал в IX веке Мухаммедаль-Хорезми

В своем сочинении «Аль-джебр и аль-мукабала» он даёт два приёма, применяемых при решении уравнений.

Приём «аль-джебр» заключается в том, что если имеются в уравнении отрицательные (вычитаемые) члены, то следует прибавить противоположные им члены к обеим частям уравнения, и тогда все члены будут положительными.

Приём «аль-мукабала» заключается в вычитании из обеих частей уравнения одинаковых членов, что приводит к его упрощению.

Пусть, например, дано уравнение:

Применяем «аль-джебр»: прибавляем к каждой части уравнения 5 и 17.

Получим:

Применяем «аль-мукабала»: вычитаем из каждой части и 5. Получим:

Отсюда легко находится х.

Появление этого замечательного сочинения аль-Хорезми можно считать началом выделения алгебры как самостоятельной, отдельной отрасли математики.

Самое название «алгебра» взято из заглавия этого сочинения («Аль-джебр»).