§ 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях.

До этого мы решали уравнения, в которых неизвестное входило в одну часть уравнения. Но могут быть уравнения, которые содержат неизвестное в обеих частях, например:

Мы сумеем решить уравнение такого вида, если сможем преобразовать его так, чтобы члены, содержащие неизвестное, оказались только в одной части уравнения (то есть приведём уравнение к такому виду, который мы уже умеем решать).

Воспользовавшись первым свойством уравнения, мы легко решим уравнение

Прибавив к обеим частям этого уравнения по получим уравнение, равносильное данному:

или после упрощения:

Но это уравнение мы решать уже умеем, получим:

Подставив в данное уравнение, получим!

Корень найден верно.

Выведем некоторые следствия из первого свойства уравнений.

Возьмём уравнение:

В обеих частях этого уравнения есть один и тот же член Очевидно, если мы прибавим к обеим частям по (или, что то же, вычтем то вместо этих членов в обеих частях уравнения будем иметь нули и сразу получим уравнение равносильное данному.

Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить.

Возьмем уравнение:

Чтобы сгруппировать в левой части члены, содержащие неизвестное, нужно к обеим частям уравнения прибавить по , а чтобы сгруппировать в правой части свободные члены, надо к обеим частям прибавить по — 11.

Получим:

или

Сравнивая это уравнение с данным, видим, что член оказался в левой части, в правой, но оба

при этом изменили знак на противоположный. Отсюда правило;

Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, переменив его знак на противоположный.

Пример.

Перенесём все члены, содержащие - неизвестное, в левую часть, а все свободные члены — в правую, переменив у каждого из них знак на противоположный. Получим!

или