§ 118. Функция y = kx.

В § 73 было дано определение прямо пропорциональной зависимости между двумя величинами. Она выражалась равенством:

где — число, не равное нулю.

При любом данном значение у зависит от значения х. Следовательно, мы можем считать х аргументом, а у функцией этого аргумента.

В § 74 на примерах путем построения нескольких точек было показано, что графиком функции является прямая. Докажем теперь это положение.

Теорема. Графиком функции является прямая линия, проходящая через начало координат.

Доказательство. Построим две точки графика. Положим Тогда из (1) находим Значит, точка принадлежит графику, то есть график проходит через начало координат.

Положим Тогда из (1) получим Значит, график проходит через точку Построим эту точку. Она будет лежать выше оси абсцисс, если (на чертеже и ниже этой оси, если (на чертеже 61 ).

Черт. 60.

Черт. 61.

Проведём через точки О и А прямую и докажем, что эта прямая является графиком функции

Доказательство разобьём на две части.

1) Докажем, что все точки прямой О А принадлежат графику функции

2) Докажем, что никакая другая точка плоскости не принадлежит графику функции

Для доказательства первого положения достаточно доказать, что координаты любой точки прямой удовлетворяют равенству

Возьмём на прямой (черт. 60) произвольную точку Треугольники . В подобны, так как имеют по прямому углу и угол них общий

Из подобия их заключаем:

Но Сделав подстановку в (2), получим:

Отсюда

Равенство (3) показывает, что координаты точки удовлетворяют равенству (1), и, следовательно, эта точка принадлежит графику функции

Мы взяли на прямой точку В, лежащую выше оси абсцисс. Возьмём теперь на этой же прямой точку С, лежащую ниже оси абсцисс (черт. 60).

Пусть её координаты равны

Из подобия треугольников находим:

Координаты и здесь отрицательные числа.

Следовательно, длина равна положительному числу , а длина — положительному числу — Сделав подстановку в (4), получим:

Равенство (5) показывает, что и точка принадлежит графику.

Так как точки В и С на прямой ОВ мы брали произвольно, то отсюда следует, что любая точка прямой лежит на графике функции

Докажем теперь второе положение: если точка не лежит на прямой то она не принадлежит графику функции

Для этого достаточно доказать, что координаты любой точки, не лежащей на прямой не удовлетворяют уравнению (1).

Возьмём произвольную точку Р, лежащую, например, выше прямой О А.

Перпендикуляр на ось абсцисс, опущенный из этой точки, пересечёт прямую в некоторой точке (черт. 62).

Точка по доказанному, принадлежит графику функции Значит, Но следовательно, Это значит, что координаты точки Р не удовлетворяют уравнению (1) и, следовательно, точка Р не принадлежит графику функции Таким же способом докажем, что любая точка, лежащая ниже прямой О А, не принадлежит графику функции

Итак, мы доказали, что все точки прямой ОА, и только эти точки, принадлежат графику функции то есть прямая О А является графиком функции

Черт. 62.

Предлагается учащимся повторить всё доказательство этой теоремы для чертежа 61 (при доказательстве учитывать знаки координат рассматриваемых точек). Для краткости вместо фразы «прямая, являющаяся графиком функции принято говорить «прямая

Строя графики функции при различных значениях легко заметить следующее:

1) Если то обе координаты любой точки графика имеют одинаковые знаки: они или обе положительны, или обе отрицательны, или обе равны нулю. Это значит, что прямая расположена в I и III четвертях (черт. 60). Если то координаты любой точки графика (кроме точки О) имеют противоположные знаки. Это значит, что прямая расположена во II и IV четвертях (черт. 61).

2) Если то из треугольника (черт. 62) имеем:

то есть коэффициент равен тангенсу угла, образуемого прямой с осью абсцисс.

Поэтому число называется угловым коэффициентом.