§ 14. Законы сложения.

Убедимся в том, что при сложении рациональных чисел остаются в силе основные законы сложения, установленные для положительных чисел.

Переместительный закон. Для любых рациональных чисел а и b справедливо равенство:

Это следует из правил сложения рациональных чисел.

В самом деле, если числа имеют одинаковые знаки (правило 1), то мы складываем их абсолютные величины, то есть положительные числа, а для них переместительное свойство сложения справедливо.

Если же числа имеют противоположные знаки (правило 2), то мы из большей абсолютной величины вычитаем меньшую независимо от того, стоит ли число с большей абсолютной величиной на первом или на втором месте. Значит, и здесь величина суммы не зависит от порядка слагаемых.

Например:

В правилах 3 и 4 ничего не говорится о порядке слагаемых, значит, они верны при любом порядке слагаемых.

Переместительный закон справедлив при сложении любого числа слагаемых.

Покажем это на примере.

Складывая числа в любом порядке, мы получим одно и то же число

Сочетательный закон.

При сложении рациональных чисел остаётся в силе сочетательный закон сложения.

Убедимся в этом на примере суммы трёх слагаемых:

При получим:

Нередко в вычислениях одновременно пользуются и переместительным и сочетательным законами.

Приведём такой пример.

Вычислим сумму

Переместим слагаемые так:

Произведём сложение в таком порядке:

Такое одновременное применение переместительного и сочетательного законов иногда выражают кратко в виде следующего правила:

Слагаемые можно соединять в группы любым способом.

При вычислении суммы, содержащей и положительные и отрицательные слагаемые, можно применять следующее правило:

Чтобы сложить несколько рациональных чисел, можно сложить отдельно все положительные отдельно все

отрицательные числа и полученные два числа сложить по правилу сложения двух чисел.

В справедливости этого правила нетрудно убедиться.

Пользуясь переместительным законом, расположим (мысленно) слагаемые так, чтобы сначала стояли все положительные слагаемые, а за ними все отрицательные, Затем, пользуясь сочетательным законом, сложим отдельно все положительные слагаемые и отдельно все отрицательные. Получим два числа, которые сложим по правилу сложения двух рациональных чисел.

Пример. Сумму

можно вычислить так:

1) Сложить положительные слагаемые:

2) Сложить отрицательные слагаемые:

3) Сложить полученные суммы: